某科学 の 电磁理论教你玩“硬币”_风闻

原创：中科院物理所

作者：Juan Maldacena

翻译：曹昕宇

审校：Dannis

目前用来描述基本作用力与基本粒子的理论依赖于优美的对称性，也就是规范对称性(gauge symmetry)。这些理论难以描述。普林斯顿高等研究院的著名物理学家胡安·马尔达西那( Juan Maldacena )提出了一个很好的类比：他认为空间就像是国家组成的网格，粒子就像利用不同货币之间的汇率来投机赚钱的旅行者。

电磁学简介

我们首先从电磁力开始讨论。电磁力由电场和磁场描述。电场和磁场由带电物体产生，我们可以把它们视为在空间(准确讲是时空)中各点都存在的小箭头。

上图展示了条形磁铁的磁力线。这是由磁铁内部电子产生的。在数学上，磁场用各个点都有的小箭头来表示其大小和方向。

上图展示了在一对正负电荷周围的电场。在数学上，电场用各个点都有的小箭头来表示其大小和方向。

电磁场对进入其中的带电物体会产生作用，我们借此来感受到这些场的存在。电场沿箭头方向推动带电物体，而磁场只对运动电荷有作用。移动的电荷在磁场中会受到垂直于其速度方向的力。如果你是一个电荷，当你走进一个垂直的磁场时，你将会感受到一股侧方向推动你的力，如果只有磁场的力存在，你将会做圆周运动(如下图所示)。

(a)电场沿电场方向施加给电荷一份力。(b)磁场会施加给运动电荷一份力，力的方向既垂直于磁场又垂直于电荷速度方向。(c)在磁场中运动的电荷最终会做圆周运动。

电场和磁场都有相应的动力学描述。它们之间连锁式的振荡就产生了电磁波。电磁波能在真空中传播，包括我们常说的无线电波、可见光、X光、伽马射线等。

你或许很熟悉上述这些。即使不熟悉，也不必惊慌。接下来要讲的内容并不需要你熟悉电磁学方程。你所需了解只是电场和磁场，它们可以存在于真空中。这些场作用于带电粒子上并影响它们的运动。电场沿电场方向推动带电粒子，带电粒子绕磁场作圆周运动。

电磁学可以看作是一种基于规范对称性的规范理论。电磁学的规范理论观点有助于将它泛化到其它力上，也有助于描述电磁的量子力学版本。为了解释什么是规范对称，我们可以引入一个经济学的类比。在这个经济学类比中，我们将做一些简化和理想化。注意，我们的目标不是解释经济学，而是解释真实的物理世界。好消息是，这个模型比真实的经济学简单得多。这就是为什么物理学比经济学简单。

经济学类比

下面来看这个经济学模型。我们想象：有许多国家，每个国家都有对应的货币。国家分布在一个整齐的网格上(如下图)。每个国家与邻国有一座桥相连。每座桥上有银行。你必须在银行把携带的货币兑换成桥对面国家的货币。

每个圆代表一个国家，每个国家都有自己的货币。蓝色的线代表桥，将国家连接起来。桥上有银行，当你过桥时，需要将手中的全部货币进行兑换。每座桥上的银行都独立的设置汇率。

每座桥上的银行都是独立的，没有一个权威组织来协调不同货币的汇率。每个银行独立的以任意方式设置汇率，并且不收手续费。

例如，你所在的国家使用美元，桥对面国家使用欧元，桥上银行挂牌汇率是1.5美元=1欧元。如果你有15美元，走到邻国将会被换成10欧元。如果你再走回来，10欧元又会被换回15美元。就是说，如果你去了一趟邻国之后立刻回来，你手里的钱数不会变。

还有另一个规则：你可以不停的沿桥走向相邻的国家并不停的兑换货币，但是你不能从一个国家直接飞到另一不相邻的国家。并且，除了货币之外，你不能携带金银或者任何其它商品，之后我们会放宽这个限制，但是现在我们先考虑这种最简单的情况。

去掉货币中的0

那规范对称性在哪呢？想象有一个国家，它的货币尾数有太多的0了，它想去掉这些0。这种情况经常在高通胀时发生。于是政府宣布1000比索现在值1奥斯特拉尔，相应的商品价格与汇率也发生改变。以前买一根香蕉用5000比索，现在用5奥斯特拉尔。以前你的薪水是一百万比索，现在就是一千奥斯特拉尔。

假设邻国是美国，汇率是3000比索=1美元，现在就成了3奥斯特拉尔=1美元。这种现象我们就称为规范对称性。因为更换货币单位以后，事实任何其它事物都没变(没有人变得更富裕或者变得更穷，你的薪水能买的香蕉数也没有变)，只是货币计量起来更方便了。gauge这个单词原意是测量设备，在此强调只是用于测量的单位改变了，而测量本身并没有改变。

每个国家都可以改变其货币单位。在这里，本来用比索做货币的国家将单位换成了奥斯特拉尔，1000比索=1奥斯特拉尔。商品价格、汇率也会相应地改变。图中写明了香蕉价格会如何变化，也列举了与周围某个邻国汇率的变化。当然周围所有邻国的汇率都会跟着变化。

如下图，我们可以从阿根廷纸币上看到这种规范对称性。

现实中的规范对称性。阿根廷的货币由比索换成了奥斯特拉尔。

规范对称性是局部的，因为每个国家都可以在单独决定执行这种变化，而不依赖于邻国的决定。一些国家可能比其它国家更频繁地这样做。在现实世界中，阿根廷自20世纪60年代以来，通过这种“规范对称”等一系列操作，已经消除了13个0，因此，今天的1比索= 20世纪60年代的10万亿比索。

如何在这个世界套利

现在我们来关注投机者。投机者是指那些沿着不同的路线过桥并兑换货币的人，目标是赚钱。投机者想沿着能获得最高货币收益的道路前进。记住，根据我们的规定，他必须沿着不同的桥不停地去其它国家旅行。而不能只是坐在桌前在电脑上交易。

想一想：他能赚到钱吗？他应该怎么做？

乍一看似乎赚不到钱。如果你从一个国家走到它的邻国再走回来，你的钱一分都没变。然而，如果你走另一条路回来，是有可能赚到钱的！

这里画出了三个国家，分别使用不同的货币。蓝色的桥上写明了汇率。如果你沿着绿色箭头走一圈，你手中的钱会变为原来的1.5倍，也就是增加了50%。

举个例子，现在有三个区域，分别是美国、欧洲和阿根廷，它们分别使用美元、欧元和比索。现在我们想象，这三个国家之间有桥梁连接，如上图。它们之间的汇率是：

1.5 美元= 1 欧元

1美元= 10比索

1欧元= 10 比索

我们从阿根廷开始，身上带着10比索。走到欧洲去，这时我们身上有1欧元。再走到美国，身上会有1.5美元。最后回到阿根廷，身上会有15比索。出发时有10比索而最后变成了15比索。也就是说，开始时你身上的总货币数x会在循环一次之后变成1.5x，这与阿根廷的货币单位无关。即使阿根廷将货币单位换成奥斯特拉尔也是如此，最终都会是乘了1.5的系数。

你或许认为，这是因为银行太蠢，设置了“错误”汇率，才让投机者有机可乘。这是因为我们开始就把这个世界设定成这样，银行可以任意设置它们的汇率。有时这会导致有套利的可能，有时没有。投机者只遵循最简单的想法：他们只想着如何套利，走哪条道路能套利最多。在刚才的例子里，投机者会在阿根廷→欧洲→美国→阿根廷之间循环的走，正如上图中绿色的线所指示。

电磁经济学

我们经济模型中的国家类似于物理学里面空间中的点或者小区域。磁场所具有的磁势类似于经济模型中货币之间的汇率。投机者对应着电子或者带电微粒。磁场的存在对应着可以套利的某种汇率配置。当存在磁场时，电子会做圆周运动从而变得更“富有”。套利的数量取决于磁场。事实上，沿环形运动“套利”的数量就是穿过了这个环的磁场的流(简单来讲，“流”也就是穿过这个环的磁场线的数量)。

如果你熟悉电磁学，这些听起来都很意义的。如果不熟悉，牢记这个类比就行：磁场的存在对应着一种势的配置(汇率)，从而使电子变得更富有(“收益”取决于这片区域的磁场)。而这种势会推动电子运动。

现在，我们假设你是个拥有负债的投机者。在这种情况下，你会选择沿之前所说的相反的方向在国家间行走，从而（以同样的比例）使负债越来越少。在物理学中，你就对应着正电子。正电子与电子类似，只不过带有相反的电荷。在磁场中，正电子会沿着与电子相反的方向做圆周运动。

在真实的物理中，我们可以想象刚才套利的事情发生在非常小的距离，比如今我们能够测量的最小距离还小得多。当我们观察任何物理系统甚至真空的时候，就像是在非常远的距离上观察这些国家，以至于它们看起来像连续的一样。正如下图中所示。电子在真空中的运动就像是在时空中从一个点移动到另一个点。从微观的观点描述，电子不停的在国家之间移动，不停地更换货币，并且在这个过程中不断地变富有。(在物理中我们尚不确定是否有像我们所描述的国家这样的离散的结构。然而，当我们进行规范理论计算的时候，我们通常假设有一个类似的离散结构，然后在所有国家彼此靠得很近的时候取连续极限。)

这里我们展示了不同尺度的”国家网格”。从左到右国家不断缩小。如果它缩的足够小，我们可以将其视为连续的。

电磁学中的规范对称性与经济学模型中的略有不同，后者指的是除以或乘以给定的因子。电磁学的“货币”不是用数轴上的数字来描述的，而是用一个圆上的点来描述的。每个“国家”(即时空中的点)都会在它的对应的圆里面选择一个起点——我们称之为是它的基点（Base point）。圆上任何一个点P的值由P点，圆心，基点三者连线构成的角度大小给定。任何国家在任何时候都可以选择将它的圆旋转，从而改变基点的位置。所有的带电物体都坐落在圆上某个位置，如果基点改变了，它们名义上的位置也改变了。两个国家的圆的基点通过旋转一定的角度可以重合，国家间的汇率就对应着这个角度。

时空中的每个点都在圆上选了一个基点来度量角度。这个圆的旋转就是规范对称性。

我们可以把这些想象成一幅图：时空中每个点都有个小圆圈，对应着不同的国家。

电磁相互作用的对称性正如“空间中每个点都有一个圆”这种构型所具有的对称性。图中黑线的交点代表空间中的点。我们可以把圆看成是一个额外的维度。

如果这个小圆真存在，那就意味着需要一个额外的维度。上面的示意图是二维的简化模式，但是我们感知的真实空间是三维的。如果每个点的小圆圈不属于三维中的任何一维，那它就需要存在于第四维空间中。然而，我们不知道这个圆是不是真实的。我们不知道是否真的有一个额外的维度。我们所知道的是，该理论所具有的对称性和多了第四个维度后所具有的对称性是相类似的。物理学中我们总是倾向于做尽可能少的假设。“额外一个维度”不是必要的，只有对称性是必要的。而这里面唯一相关的物理量是磁势，它决定电荷在时空中从一点运动到临近的另一点时，电荷在那个小圆圈中位置的变化。

在电磁学中，电场和磁场遵循麦克斯韦方程组。在我们的经济学模型中，这对应对汇率的要求。

麦克斯韦方程组

我们可以这样直观的了解这种要求：假设具有一个通用的汇率配置，投机者携带资金四处寻找机会，在某座桥上有个银行，会有投机者从两个方向穿过桥。如果从一侧通过的投机者更多，银行会用完其中某种货币。例如某个银行连接了美元和比索，而买入美元的人比买入比索的人更多，银行的美元会被用尽。

这要是发生在现实世界，银行只需调整汇率使人们减少购买美元即可。如果我们假设沿着某个环形运动的投机者正比于沿这个环形能获得的收益，那我们会发现，银行里两种货币都不会被用尽的条件，正等价于麦克斯韦方程组。（推导在这）

总结一下：**电子和正电子这样的带电粒子可被视为在国家网格中移动的投机者，电磁场决定了货币之间的汇率。**磁场的作用类似于推动电子获得收益或者促使正电子减少负债，也就是推动带电粒子环形运动。它们的总收益与磁场相关。整个事件由规范对称性描述：时空中每个点定义了货币单位，改变货币单位并没有任何实际意义。

原文链接：

https://plus.maths.org/content/intro-em

https://plus.maths.org/content/its-economy-stupid

https://plus.maths.org/content/economic-em

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