正弦函数牛在哪？先和娃一块看看频谱| 乐聊乐有理_风闻
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2020-01-19 10:56
撰文 | 吴进远（美国费米国家加速器实验室）
人们常说，绘画是空间的艺术，音乐是时间的艺术。绘画是颜色在空间中渲染，音乐是音符沿着时间流淌。而频谱是把声音中的频率沿着频率展开排列，并绘制成图像，就像阳光穿过三棱镜色散成七色光谱。各种各样的乐器、歌声都会产生出独特的频谱图，普通话中一二三四声的声调甚至会在频谱图画出抑扬顿挫的图案。
上周晚自习之后，我和我暗恋的女神珍旭班长，一起看了她爷爷在她小时候给她讲的睡前故事傅立叶变换的视频（参见《给孩子讲傅立叶变换，肖邦的钢琴会怎么说？| 乐聊乐有理》）。不过，视频中还留下了许多且听下回分解的地方。又一天晚自习之后，我问珍旭班长：“你爷爷后来有没有给你讲频谱呀？”
“当然讲了。给小朋友讲睡前故事，每次不可能讲太多内容，因此复杂的话题就必须分成好几次来讲。”珍旭班长说着又找出一个视频，打开和我一起看。
1 各种乐器的频谱
“我是熊猫，我吃竹子，我要唱《五指歌》。”
“一二三四五，上山打老虎。（老虎！老虎！老虎！老虎！）……”
“今天，我们讲频谱。”爷爷说：“汉语中，谱是个很常用的字，它的意思是根据事物的类别或系统排列编制的表册、书籍或绘制的图形等等。比如家谱族谱，是按照辈分排列，记录家庭成员的文本。”
“我们弹钢琴或者唱歌用的乐谱是按什么排列的呢？”小珍旭问。
“乐谱是按照时间次序，把每个节拍中演奏演唱的音符记录下来的一种文稿。”
小珍旭举起熊猫晶晶：“爷爷，晶晶不懂。请爷爷，用熊猫和竹子作为例子，给晶晶再讲一讲。”“在大熊猫繁育中心，有熊猫的食谱。食谱是按照时间顺序，把大熊猫每餐吃多少竹子，添多少窝头苹果胡萝卜开列记录出来的表格。”
“那频谱是什么？”
“频谱是把一个声音中存在的频率成分按照频率排列的图。我们常说的光谱其实是一种电磁波的频谱。光谱是按照颜色，也就是说光的波长或频率，记录下来的光强度分布。”爷爷说着，打开电脑，启动一个软件。然后拿起一把小提琴，对着电脑话筒，拉出一个稳定的长音，电脑上显示出一个频谱。（现在手机上也有可以生成频谱的应用软件。）
小提琴的频谱
“这个音是E，就是C调里的咪，它是用小提琴最细那根弦空弦演奏的，频率大约659赫兹。”爷爷解释道：“你看，频谱上显示出许多尖峰，最左边那个是基频，然后是2、3、4、5倍频等等。正是这些倍频泛音，决定了小提琴的音色。”
“我想看看我的小口琴的频谱。”小珍旭说着，拿起口琴，对着电脑话筒吹出一个长音，也是C调里的咪。电脑上显示出另一个频谱。
口琴的频谱
“成功啦，成功啦。”小珍旭高兴地说：“口琴的声音里也有基频和高倍频泛音。”
“你看看口琴和小提琴的频谱是不是不一样？”
“是不一样。”小珍旭仔细观察：“实际上，两种乐器前面三个尖峰的比例好像差不多，但是口琴第4、5、6等几个峰明显比较高。嗯，好像口琴的声音确实听着更亮一点。”
“老师有没有教过你们用口琴来模拟小提琴？”
“教过。”小珍旭边说边演示：“第一，舌头堵住下排孔，只让口琴上面的的簧片振动。第二，手捂住口琴前边，把口琴声音闷一点。这样，口琴听起来就很像小提琴了。”
“从频谱上看，用手捂住口琴，就可以让它的高频成分衰减得厉害点。我们把口琴第4、5、6等几个峰压低一些，它的频谱就和小提琴非常像了。这实际是用滤波的方法，来改变不同频率成分的相对强度，以获得不同的音色。”
2 挖一挖波形上的山峰
珍旭班长又找出一个视频打开。
“我是熊猫，我吃竹子，我要唱《五指歌》。”
“一二三四五，上山打老虎。（老虎！老虎！老虎！老虎！）……”
“我们昨天见到的乐器频谱里都有那么多峰，有没有只有一个峰的乐器？”小珍旭问到。
爷爷转身拿起一个小方盒，按了一个开关，方盒发出呜呜的叫声。
“这个小方盒是信号发生器，它可以发出正弦波信号，正弦波在频谱上只有一个峰。”
正弦波的频谱
“正弦波的波形看起来像是平静池塘水面上微小的波浪，很均匀，也很平滑。它的声音听起来很纯净，好像一点杂质都没有一样。”
“所以音乐家管正弦波叫做纯音。当然，如果用纯音来演奏音乐，就显得太单调了。此外，自然的发声体很少能发出绝对的纯音，因此，我们现在见到的乐器在频谱上都有很多峰。”
“要是把正弦波的波形改变一下，它的频谱会是什么样呢？”
爷爷搬动小方盒上的一个开关：“我们把正弦波的山峰堆高一点，低谷挖成尖尖的槽，让它变成三角波，这时我们就看到频谱上增加了一些尖峰。”
三角波的频谱
“三角波和正弦波差得不太多，所以新增加的这些峰比基频那个峰矮不少，而且一个比一个矮。”
“咦，好奇怪。”小珍旭指着三角波的频谱说：“频谱上第二个峰频率好像不是第一个峰的二倍。”
“你算算是多少倍？”
“好像是3倍。后面一个峰的频率是基频的5倍。再后一个是7倍。为什么新增加的这些高次倍频里没有2、4、6倍频呢？”
“这是因为三角波平移半个周期波形是正负反转的。当你站在任意一个山峰或者山谷，向左看和向右看，看到的波形是相同的。”
爷爷又搬动小方盒上的开关：“我们要是把三角波的山尖铲平，把山谷填平，就得到梯形波。要是再进一步把山坡修得很陡，就得到方波。这种方波和正弦波差得更远，因此频谱里的高频成分就相对比较高了。”
方波的频谱
“方波平移半个周期波形也是正负反转的，所以也只有奇数倍频。”
“方波的声音听着像是单簧管。”小珍旭评论道。接着又问：“这些峰之间长出的小草是什么？”
“这是因为方波波形在跳上和跳下的时候，速度非常快。系统里的电子器件跟不上，就可能产生一些失真。这些失真会在频谱上产生一些强度不太大的频率成分，就是这些小草。”
爷爷再次搬动小方盒上的开关：“现在，我们保持方波的一边不变，把另一边修理成缓慢下降的山坡。这时，我们得到一个锯齿波。”
锯齿波的频谱
“锯齿波平移半个周期波形不是正负反转的了，因此，频谱里出现了2、4、6、8等等的偶数倍频的尖峰。”
3 谱 图
珍旭班长又找出一个视频打开。把“一二三四五，上山打老虎”这部分跳了过去。
“我们这几天见到的频谱都单独一个呜呜声音的，真正演奏的音乐也可以做频谱分析吗？”小珍旭问道。
“当然可以。你可以到钢琴上来弹一个曲子，我们来分析一下这个曲子的频谱。”
小珍旭穿着睡衣睡裤从被窝里跳出来，自觉地加了一件衣服，跑到客厅，坐到钢琴边。爷爷让她弹了《一闪一闪亮晶晶》的前两句，只弹了右手部分。电脑上得到一个显示。
“对于自然的声音，包括用乐器演奏的音乐，我们可以把话筒采集到的声音切成一小段一小段来做频谱分析。每一小段时间之间，频谱都可能发生变化。为了显示这种变化，我们需要把分析的结果按照时间展开，这样二维的频谱就变成了三维的。在上面的图中，纵坐标是频率，横坐标是时间。第三个维度，也就是频率成分的强度，用不同的颜色来表示，颜色越偏红，强度越大。这种显示我们一般叫做谱图，有的时候有人叫它声纹图。”
“哈哈，我看出来了。”小珍旭指着谱图：“这里面每一条竖线对应按下钢琴琴键演奏的一个音符。多多嗦嗦啦啦嗦——发发咪咪来来多——”
“你注意看。”爷爷说：“钢琴演奏的每一个音符，除了最低的基频，从下往上，还可以看到很多整数倍频的泛音。”
“可是，”小珍旭问：“除了演奏音乐，或者唱歌，我们一般说话也可以做频谱分析吗？”
“可以呀。”爷爷说：“我们汉语普通话有阴阳上去四个声调，你可以挑几个有这四声的字来试一试。”
“一句话里包含有四个声调的字？这个好办。都——来——跑——步——身——强——体——壮——”小珍旭念道。电脑记录分析了这个段声音，显示出一个谱图。
“真好玩。”小珍旭说：“普通话里的一二三四声的声调，真的就像汉语拼音里标的那样，是水平、上升、拐弯和下降。”
“你现在能看出，这个图上一道一道的条纹了吧？”爷爷说：“所以有的行业的人管这类谱图叫做声纹。”
“这些条纹是什么？”
“我们讲汉语时的韵母，或者欧洲语言中的元音是一种周期性的振动，就像乐器演奏一个音符一样。因此韵母的频谱，也像乐器一样，是由基频和整数倍频构成的，在谱图上，是一组从下到上等距离的条纹。”
“这些条纹为什么会上下拐弯呢？”
“我们说话的时候，声带的张紧程度不断变化，振动的频率也随着变化，在谱图上显现出来，就是条纹的上下拐弯。另外人的口型也在变化，口型变化影响到口腔的共鸣特性，这种共鸣使得不同的频率成分的相对强度变化。所有这些，使得我们说话的声音变得可以听懂。此外，不同的人声音也因为声带与口腔形状的不同而不同，使得我们从声音能够分辨出不同的人。有的情况下，即使说话的人刻意变声，专家也可能通过说话的谱图，来辨认说话人的声音特征。”
“每个人说话的声音都有它的特征，是不是就像人的指纹一样？” 小珍旭问。
“对的。所以，谱图被称为声纹图，也有这么一层意思。”
叮铃铃，电话响了，爷爷按下免提。奶奶那天晚上去单位开会，不放心，特意打来电话，嘱咐了很多。爷爷说，“放心吧，小珍旭学习睡觉，样样不耽误。”
电脑把电话内外的声音分析成频谱，显示出了谱图。
“吼吼吼。”小珍旭举着熊猫晶晶说：“你们人类喜欢打电话，可是又经常说电话里说不清。”
“哈哈蛤。”爷爷问：“你觉得什么说不清呢？”
“电话里的声音经常是闷闷的，好像感冒了一样。尤其是波坡、得特这样的声音不容易听清楚。”
“观察得很仔细。”爷爷表扬道：“从上面这个谱图，你就能大概看出原因。”
“前面这一段是电话里的声音，好像用剪刀整整齐齐地剪了一下。后面电话外说话的声音，就没有这么一种限制。”
“是的，我们现在用电话系统，把语音信息做了滤波，只有 3600 Hz 之下的频率成分可以通过，3600 Hz 以上的频率成分统统阻挡出去，这样做是为了节约通讯信道资源。本来人类的语言信号中，3600 Hz 以上的频率成分很少，所以切掉了影响不太大。但这些切掉的高频成分虽然量不大，但有时却携带比较重要的信息，可能影响通话双方的互相理解。”
4 为什么正弦函数那么牛？
“又在学习儿童睡前故事版呐？”泉余室友又一次毫无征兆地出现了。
“你又有青年失眠烧脑版的问题了？”珍旭班长问。
“还真有一个。”泉余室友说。
“那你要请我们俩吃夜宵。”我说。
“你俩？”泉余室友掩口而笑：“没问题。”
在校门外茶餐厅一通风卷残云之后，泉余室友抛出了他的问题：“为什么正弦函数这么牛呢？”
“在回答你的问题前，你必须把牛的定义讲清楚。”我说。
“我们做傅立叶变换、频谱分析的时候，实质上是把任意的信号看成是许多正弦函数的叠加。数学上，曲里拐弯的函数有很多，我们为什么就选中了正弦函数呢？”
“也许，在自然界中，很多物体是按照正弦函数的规律振动的。”我说。
“难道不是因为正弦函数简单美观，因此受到人们的青睐？”泉余室友反问。
“我觉得不是。”珍旭班长说：“数学中，简单美观的函数相当多，人们之所以选择正弦函数，而不是其他曲里拐弯的函数，恐怕还是受到了自然现象的启迪。”
“可是，我们印象中，人们想得到正弦波，都是用信号发生器来产生。”泉余室友仍有些怀疑：“你们说说，在我们周边50米范围内，哪些东西会产生正弦波？哦，手机不算哈。”
珍旭班长把高脚杯里的橙汁喝掉一半，放到桌上，指指高脚杯：“它就能产生正弦波。”
“真的？”
“做个实验怎么样？”珍旭班长说着，拿起一根筷子，“叮——”，轻轻地敲了一下高脚杯。
泉余室友掏出手机，点开频谱分析软件。珍旭班长又敲击了几下高脚杯，手机上的软件显示出一个谱图。
“你们看，高脚杯敲响时，存在许多振动模式，不同的振动模式有不同的频率。”珍旭班长解释：“可是频率比较高的那些振动模式衰减得非常快，最后就剩下一个频率最低的振动模式。因此，只有经过足够长的时间，高频模式衰减光了，杯子的振动就逐渐变成了符合正弦函数规律的简谐振动。”
我说：“在真实的世界上，也许没有什么东西是严格按照正弦函数规律振动的。可是，当振动的振幅很小的时候，它们就趋向于简谐振动。比如单摆、吊灯、秋千等等，振动幅度比较大的时候，它们的振动规律非常复杂。但是在摆动幅度很小的时候，它们的振动规律就非常接近正弦函数了。”
“实际上，我们还可以看看科学史。”珍旭班长说：“牛顿在拿起棱镜分解太阳光的时候，他并没有先验地选择任何函数。可是，太阳光经过棱镜，由于色散，分解成了红橙黄绿青蓝紫的光谱。这种光谱，是把白光按照光的频率分解开来。这实质上说明，白光是以正弦函数为单位，与物质发生作用，从而产生色散的。”
“看起来，以自然现象为师，并不是一句空话。”泉余室友说。
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