数学是人类的发明，还是发现？_风闻

张英锋好答案不在对错，在于让心智获得更多自由！专业已有 2 人赠与了专业徽章11,551 人赞同了该回答讲真，对这个问题感兴趣，还点进来看的人，都不是一般人。^_^

简单的说，早期的古代数学多数是发现，但是从2000多年前的古希腊开始，数学家们创造出大量超越自然的新事物，导致此后的数学越来越多的是发明。

文艺复兴三杰拉斐尔的名画《雅典学院》图片出处：https://commons.wikimedia.org/wiki/File:La_scuola_di_Atene.jpg

古希腊的先贤们也不会想到，他们居然为人类开辟出一片新的世界。

在这个新世界中，人类的思想得到了前所未有的解放，并加速了科学与技术的进步，让人类文明进入了快速腾飞的时代。

一切先从定义开始数学究竟是发现（discovered），还是发明（invented），取决于“发明”和“发现”的定义。

先看两个案例：

科学家发现了微观粒子，而不是发明了微观粒子；殷商时代的古人发明了甲骨文，而不是发现了甲骨文。通过这个例子，我们可以达成共识：

发现，是指人类在自然宇宙里找到了以前没见过的事物发明，是指人类创造出了自然宇宙中以前不存在的事物如果以这两个定义为基础，可以推出：

因为，数学的定义、符号和规则都是人类的发明，是自然宇宙中以前不存在的事物。 所以，数学是人类的发明，而不是发现。 Q.E.D.等一下，这样就证明结束了吗？

并没有，因为事情没有这么简单。

有限的自然宇宙和无穷的数学宇宙无穷符号“无穷”是数学中最核心的概念之一，但是”无穷“只存在于人类的想象中，不存在于自然宇宙中。

在我们的印象里，自然宇宙是无穷的。

然而，随着人类观测能力的增强，科学家逐渐发现，我们所生活的自然宇宙，实际上比我们想象的要“小”的多。

根据观测到的天文数据，科学家发现宇宙的时间不能无限上溯，而是存在一个叫“大爆炸”的起点，宇宙的年龄估计不超过200亿年；宇宙的空间也非无限，宇宙的直径不超过1000亿光年；而宇宙里所有普通物质的质量是 千克，尽管这些都是极其庞大的天文数字，但也是有限的。[1]

也就是说，我们印象里那个无穷的宇宙，是我们想象出来的。

宇宙中所有已知的自然事物，包括时间、空间、物质、能量……等等都是有限的，在自然中并不存在无穷的事物。

图片出处：What Really Put The ‘Bang’ In The Big Bang?

然而，相比于自然，在数学的世界里，无穷几乎无处不在。

简单的，如分数1/3，就可以表达为无限循环小数0.3333……

常见的，如圆周率π，则是一个无限不循环的常数，这个数就蕴含着无穷。

圆周率π图片出处：How to make the digits of π go around in a spiral like this?

人类至今也无法穷尽圆周率的计算，并不是因为它难算，而是因为人类所拥有的能量和物质是有限的。

不要忘了，无论是电脑，还是人脑，在计算时都需要消耗能量和时间，而存储数据时，也要占用物质和空间，所以人类的算力不能无限的增长。

事实上，即使人类穷尽宇宙里所有的能量，即便计算到宇宙毁灭，也无法计算出圆周率的最后一位；即便耗尽所有的物质，写满了宇宙所有的空间，也无法把圆周率计算的数据保存下来。

因为无穷是没有尽头的！

请仔细想想，是不是这样！

仅仅是数学世界中一个常见数字的计算，就可以耗尽我们这个自然宇宙中所有的能量、物质、时间和空间。

有趣的是，数学家还证明了，像π这样的无理数，其个数要远远多于有理数。

更有趣的是，有的无穷比另外一些无穷还要大，比如说自然数的个数有无穷多个，而实数的个数却远比自然数多的多。

这些无穷，都是人类在数学世界里证明和创造出来的新概念，它们在自然宇宙中并不存在，是人类在对自然宇宙观察和思考后，在数学世界中重新发明的新事物。

换句话说，数学世界和自然世界是截然不同的两个世界，数学是人类创造出来的全新世界。

无穷让数学凌驾于其他科学之上公元前6世纪，古希腊人证明出了第一个数学定理，从此，无穷进入了数学。

第一个定理是泰勒斯证明出来的泰勒斯定理，和他同时代的毕达哥拉斯则证明了勾股定理，并建立了第一个数学学派。

《雅典学院》中的毕达哥拉斯，旁边抄作业的是德莫克里克毕达哥拉斯用逻辑推理的方式，证明了直角三角形都遵循勾股定理。

这里针对的“直角三角形”并不是指某一个直角三角形，而是指所有的直角三角形，对无穷多的直角三角形都成立，不存在例外。

正是因为毕达哥拉斯的这个贡献，他和泰勒斯都被戴上了”第一位数学家“的桂冠。

在他们之前的古巴比伦、古埃及的数学家，都无法获得这个殊荣，尽管他们提前一两千年就发现了这些定律，但是他们并没有把定律证明成定理。（当然很可能他们也证明了，只是还没有足够的证据支持）

是无穷让定律和定理之间产生了天壤之别。

定律是对已知规律的归纳总结，将来可能会出现例外情况，改写定律。而定理则通过演绎推理实现了无穷，不存在例外情况，不会被推翻。所以，毕达哥拉斯之前的古代数学家更多的是发现，他们发现了很多定律，但是没有发明太多超越自然宇宙的数学概念。

而毕达哥拉斯之后的数学家，引入了演绎和无穷，还定义了很多超越自然的概念，导致此后的数学越来越多的是发明。

这是一个历史性的时刻，古希腊哲学家开辟了一个无穷的新世界，而数学也从此开始凌驾于其他科学之上。

高斯称，“数学是科学的皇后”（Regina Scientiarum）。

而爱因斯坦也表示认同[3]

数学之所以拥有超越其他所有科学的地位，是因为数学中的法则是绝对确定和无可质疑的，而其他科学的法则则是可质疑的，并随时有被新发现的事实所推翻的危险。One reason why mathematics enjoys special esteem, above all other sciences, is that its laws are absolutely certain and indisputable, while those of other sciences are to some extent debatable and in constant danger of being overthrown by newly discovered facts.

大部分自然科学中的定律，放在数学中只能算作猜想。

因为这些定律都是观察、归纳而来的，还不能靠严格的证明保证其永远成立。

例如以牛顿定律所构建的经典力学，后来就被相对论和量子力学所改写。

现代物理学图片出处：https://en.wikipedia.org/wiki/Modern_physics

数学的地位要归功于无穷，数学家赫尔曼.外尔（Hermann Weyl ）也说[2]：

数学被称为关于无穷的科学。的确，数学家发明了有限构造，通过该构造可以解决问题，而其本性却隐含着无穷。*Mathematics has been called the science of the infinite.*Indeed, the mathematician invents finite constructions by which questions are decided that by their very nature refer to the infinite.

外尔的第一句话，我们已经理解，第二句话也很重要，可是该如何理解呢？

让我们以《几何原本》为例：

利玛窦和徐光启所翻译的拉丁语版《几何原本》图片出处：Mathematical Treasures - Christopher Clavius’s Edition of Euclid’s Elements

古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，是数学史上最重要的文献之一，这本书的第一句话就暗含了无穷。

定义1. 点：点无法再分割成部分。Definition 1. A point is that which has no part.

有没有意识到，这个定义很古怪，但是哪里古怪，又说不出来。

其实，这是欧几里得在用精巧的话术，想方设法的要绕开无穷，只是为了说明”点“只有位置，而没有大小。

如果直接说“点”没有大小，就必须引出“无穷小”这个至关重要的概念。所谓”无穷小“是指无限的接近于零，却不等于零。

古希腊人发现”无穷小“会引发很多悖论，他们无法解决，所以只好用“分割”来定义“点”，回避“无穷小”悖论。

如果有人问，这个定义包含了无穷小？

那就可以反驳：谁说无穷小了？我说的是”不能再分割“。

不管怎么说，无穷隐含其中。

有趣的是，无穷小悖论要等到2000多年后才得到解决，方法之一也是“分割”。这里有很多有趣的故事，将来有机会再详细展开深谈。

另外，这种没有大小的”点“，是人类头脑中想象出来的。不仅古希腊人从来没有在自然中发现过，就是我们现代人也没有见过。

几何中的”点“是一种超越自然的事物，是欧几里得在另一位古希腊哲学家——德谟克利特——发明的原子论的基础之上，创造出来的数学概念。

《雅典学院》中手拿圆规作图的欧几里得，定义完了”点“，紧接着，欧几里得又在“点”的定义基础之上，构造出了“线”的定义，

定义2．线：线是没有宽度的长度。定义3．线的两端是点。定义4．直线：直线是线上的点均匀平直的分布。Definition 2. A line is breadthless length. Definition 3. The ends of a line are points. Definition 4. A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.

有了“线”的定义，接下来是“面”的定义，然后是各种“几何图形”的定义，……

欧几里得构造了点、线、面、形、角等23个数学元素的定义（后面的12卷又增加到了131个），以及5条公理、5条公设，并以这些有限的元素和规则证明了465个命题，构建出无限的欧几里得几何空间。

号称最美的彩版《几何原本》中的插图图片出处：Making of Byrne’s Euclid

数学的定义里有无穷、定理里也有无穷、数学的空间也是无穷的……，总之数学世界中到处都是无穷。

回过头来，再重新品味外尔的话

的确，数学家发明了有限构造，通过该构造可以解决问题，而其本性却隐含着无穷。

是不是容易理解了？

数学来源于自然，却高于自然。人类观察鸟的飞行，发现了飞行的原理，然后发明出飞机这种全新的事物。随着人类对飞机的不断改良，飞机的速度和范围很快就超越了所有鸟类。