2020数学盘点——你从哪句话开始看不懂了？_风闻

　　对于数学和计算机科学来说，2020是艰苦的一年。

　　新冠疫情使得许多在职数学家的研究受到影响，著名数学家约翰·康威（John Conway）也因新冠而逝世。

　　**2020年也是充满了跨学科发现与创造力的一年。**康威逝世前1个月，他标志性的康威纽结（Conway’s Knot）问题被解决。

　　除此之外，数学家们和计算机科学家们在计算复杂性、数论和几何学方面，都取得了巨大的成就。

　　著名数学家约翰·康威（John Conway，1937.12.26-2020.4.11）与他标志性的康威纽结

　　我们也发现，计算机在数学中越来越不可或缺。

　　在一些存在已久的问题研究上，**数学和计算机科学的持续合作，不断地有所产出。**有时候其中一方研究的副产物，反而可以用来回答另一方的重要议题。

　　在这些合作中，有一些研究结果立竿见影，研究人员对其稍加改进，即纳入到其他工作之中。

　　而其他的一些研究结果，虽然目前只起到了启发作用，但相关领域的进展也指日可待。

　　计算机科学、量子物理、纯数学领域，层层突破

　　图源：quantamagazine.org

　　本文主要内容包括：

　　1. 计算机科学家证明“MIP*=RE”为数学问题作出新回答——孔涅嵌入猜想被证明是错误的，旅行商问题得到新突破。

　　2. 朗兰兹对应得到升级。光滑连续闭合曲线上的矩形问题和十二面体直线环形路径问题等几何难题得以解决。

　　3. 用于数学证明的AI工具Lean面世，并将参与国际数学奥林匹克大赛。

　　4. 2021年国际数学日确定主题**“数学让世界更美好”**，聚焦数学应用带来的生活福祉。

　　01 计算机科学开枝散叶

　　当一个科学成果足够重要时，许多其他学科就会被迫予以关注，2020年计算机科学的大发现就是在如此开枝散叶。

　　2020年1月，五位计算机科学家撰写了具有里程碑意义的证明，“MIP*=RE”。

　　这个等式涉及到了计算复杂性（computationalcomplexity）的问题，如果它成立，就证明了数学、量子物理和计算机科学之间，存在着深刻的联系。

　　（从左至右，从上至下）Henry Yuen、Thomas Vidick、Zhengfeng Ji、Anand Natarajan和John Wright，五位计算机科学家共同撰写了一份关于验证计算问题答案的证明，并以此解决了数学和量子物理中的一些主要问题

　　图源：quantamagazine.org

　　等号左边的MIP*，代表一种计算机证明系统，它是多证明者的交互验证（MIP）的一种“升级版”。

　　简单来说，MIP就是一台普通的计算机可以向两个互不相识的人提问，他们无所不知却不一定诚实，就像审讯两个彼此隔离的嫌疑者一样。这样的证明系统就可以有效地验证复杂的问题。

　　计算机解决问题，从P到NP到IP到MIP的“升级”

　　而MIP*的“升级”在于，它的回答者之间是通过量子力学的规则纠缠在一起的（处于纠缠态的量子）。

　　如果确定了其中一个量子的状态，另一个无论相距多远,其状态也会瞬间被感应确定），因此相比其他情况，他们给出的答案会更具相关性。

　　而等号右边的RE，代表递归可枚举类问题，换言之就是只要你有足够的耐心，掰着手指慢慢数，最后也会算完所有情况的一类问题。

　　这个等式的证明，也就意味着科学家们可以使用量子纠缠的计算机，从理论上验证一系列问题的答案了。

　　而在证明这个等式过程中，研究者们也对另外两个主要的问题作出了解答——

　　其一，他们回答了鲍里斯·齐雷森（Boris Tsirelson）在物理学中提出的粒子纠缠模型的问题；

　　此外，更重要的是，他们在纯数学领域，回答了著名的孔涅嵌入猜想（Connes’ embedding conjecture）的问题。

　　著名数学家阿兰·孔涅曾提出了一种精确的方法来近似无限维矩阵

　　图源：CNRS Photo Library

　　对于无限维度的矩阵，孔涅猜想，它总是可以用有限维度的矩阵来近似的。

　　例如，你有一张世界地图，并且想知道地图上任何一个地方的温度。

　　那么对于地图上的无数多个点，你可以每一个点都取一个温度计读数，这样你就可以通过一个有无限列无限行的矩阵来得到整个地图的温度信息了。

　　可这太耗时耗力了，因此我们可以做粗略的近似。我们可以把地图像分坐标象限一样，分成4个象限，并计算每个象限的平均问题，这样无限的矩阵就被近似为了2x2的矩阵。

　　当然这样的近似可能太粗糙了，你可能希望一个象限的平均温度和该象限内每个点的实际温度，温差都在10％以内。

　　因此你还可以继续细分，将每个象限再分为4个象限，变成4x4的矩阵，8x8的矩阵……

　　通过象限的平均温度来表示所有的问题，尽管行和列的数量会越来越大，但它仍然是有限的。

　　是否有一种方法，可以用有限行列的矩阵，近似表达出光束中的无限光子？

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　　孔涅嵌入猜想也与此类似，不过它的矩阵描述的是如光束这样的量子机械系统（一束光可以看作许多光子在流动）。

　　孔涅预测，通过知晓系统的简化状态（如2x2的矩阵），就可以在一定误差范围内近似地估计出整个系统的行为。

　　然而计算机科学的结果表明，孔涅的预测是错误的。

　　孔涅嵌入猜想的失败不仅对无限矩阵本身的研究影响很大，更重要的是，许多其他猜想也与孔涅嵌入猜想有关。

　　对于相关的研究者们，这可谓当头棒喝，现在他们不仅需要重新去审视和矩阵有关的其他假设，还需要赶紧学习计算机科学来理解这篇论文了。

　　旅行商问题：

　　找出一个走遍所有城市回到起点的最短路径

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　　另一件计算机科学开枝散叶的大事，是2020年它在解决著名的旅行商问题（Travelling Salesperson problem）上也取得了成功。

　　所谓旅行商问题，就是在给定一系列城市和城市之间距离的前提下，算出一个访问每一个城市并最后回到起始城市的最短的旅行方案。

　　2020年7月，三位计算机科学家利用一门叫做多项式几何（Geometry of polynomials）的数学分支学科，证明了现代的算法是优于过去长期存在的最佳方法的，尽管它所优化的效率无限的小。

　　（从左至右）Nathan Klein、Anna Karlin和Shayan OveisGharan，三位科学家找到一种寻找旅行商问题近似解的更好方法

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　　最少“一万亿分之一万亿分之一万亿分之2”的提升，听起来可能不足为道，但它证明了一个持续了几十年的问题，也可以通过计算机科学，取得新的进展。

　　02 数学思想的扩展

　　1995年，费马大定理（Fermat’s Last Theorem ）的证明，受到了全世界数学期刊和报纸的称赞。

　　然而这个定理（当整数n>2时，关于x^n+ y^n = z^n 的方程没有正整数解）的证明，只是数学家研究的一个起点。

　　它更重要的是建立起了一座桥梁，连接起了数学世界里相隔遥远的两片大陆——代数方程与几何平铺的对称组织。

　　这座桥就是著名的朗兰兹对应（theLanglands correspondence）。

　　朗兰兹对应像一座连接代数与几何的大桥

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　　近两年，两篇论文成功为这座大桥带来了升级。一方面，它们提升了现在这座桥能够连接的代数方程与平铺组织的种类。

　　另一方面，他们也为这个联系后续进一步扩展，扫除了长期存在的障碍。

　　而除此之外，其他的几何问题也被数学家们找到了新的通路。

　　光滑连续的闭环曲线上，取4个点构成矩形

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　　2020年5月，两位数学家终于破解了一项几何学中的老问题——他们发现在一个光滑连续的闭环曲线上，通过连接上面的四个点，可以得到任意长宽比的矩形。

　　他们将所有可能得到的矩形，想象成了四维空间上的一系列的点（每一个矩形对应一个拥有4个坐标的点），通过对这一系列的点来做分析。

　　矩形可以看作两组等距离的点共用一个中点，由此可以将其转化为一个四维坐标

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　　同样在2020年5月，三位科学家解决了一个关于十二面体的问题。

　　假设蚂蚁从正十二面体的一个角出发，笔直朝前走，能不经过任何一个其他角，回到终点吗？

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　　从十二面体的一个角开始，沿着直线路径一路往前，可以不经过任何一个其他的角，返回起点吗？

　　他们把问题所有的因素都放到了计算机上，利用Finster算法，识别十二面体上从拐角到其自身的所有直线路径，并通过十二面体的隐藏对称性对这些路径进行分类。

　　最终发现，满足这样要求的路径不仅存在，而且存在无数条。

　　03 计算机科学“入侵”数学

　　在以上的2020年的数学发现与证明中，计算机、算法毫无疑问地承担了重要的作用。

　　几十年来，数学家们一致将计算机视为证明数学理论的帮手。然而一直以来，都是人类在选择证明的策略与方法，在引导整个过程。

　　而这种情况或许很快就会有所改变，因为能自动做数学证明题的AI已经来了——

　　许多数学家已经开始应用一款名为Lean的程序，并希望它有朝一日，可以帮助着解决那些长期存在的重大问题。

　　Lean的使用简示

　　（Lean社区中，小章鱼成为成功快乐的象征）

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　　当然，在实现这个理想之前，数学家们必须将几千年来的数学知识数字化。

　　尽管这些知识大部分并不成文，但要利用AI工具，就必须将它们转化为Lean可以处理的形式。

　　研究人员已经对一些最复杂的数学概念进行了编码，从理论上证明了这个软件可以啃下这些硬骨头，所以之后要做的，便是填补剩下的部分。Lean也可能因此慢慢成为最大的数学图书馆。

　　每年，世界上最好的年轻数学学生都会参加国际数学奥林匹克竞赛。很快，人工智能就会加入其中。

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　　此外，国际数学奥林匹克大赛（International Mathematical Olympiad，IMO）也计划于2021年对该软件进行一次大测试——

　　微软研究院的的丹尼尔•塞尔萨姆（DanielSelsam）希望在他创立的IMO挑战赛（IMO GrandChallenge）上，利用Lean开发出一种人工智能，在数学竞赛中摘得金牌。

　　尽管还有许多数学家不能完全接受这些程序，然而Lean的“信徒”们坚信这就是**“未来”**。

　　数学正在数字化，未来可能会形成数字的数学图书馆

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　　的确，如今计算机已经成为数学研究的主流工具，它们纯粹的计算能力对于回答某些问题至关重要。

　　但人的力量同样至关重要，成功的数学家总是充满创造力的，他们不仅能发现解决老问题的新方法。更关键的是，他们能发现数学世界中新的连接。

　　另一方面，编译历史的计算机算法在数学研究中也有一定的限制——因为我们不仅要回答前辈学者们留下的猜想和疑问，也需要面向现实解决我们正在遭遇的问题。

　　联合国教科文组织将每年3月14日（π 日）定为国际数学日（International Day of Mathematic，IDM），IDM 2020 主题：数学无处不在；2021年主题：数学让世界更美好

　　正如国际数学日2021年的主题——“数学让世界更美好”。

　　在新的一年里，或许我们可以更关注数学于我们生活的应用，以及对我们生活的改变。

　　数学是一门基础学科，更是地球上的一种通用语言。

　　它能为我们提供基础的模型与工具，帮助我们理解、预测、解决问题——疫情还未过去，它能帮助我们监测并控制病毒的传播；

　　它能用于天气预报，警示我们注意气候的变化；

　　它可以预测自然灾害并让我们提前做好准备；它能优化运输和通讯网络，实现城市智能化的规划与管理……

　　相较于其他细分的学科领域，纯数学的研究或许十分抽象，但它并非与现实毫无干系。

　　相信它的突破会为其他领域打开缺口，无论是前沿科技还是文化艺术，都会有更加光明的未来。

　　参考资料：

　　1.https://www.quantamagazine.org/quantas-year-in-math-and-computer-science-2020-20201223/

　　2.https://www.quantamagazine.org/landmark-computer-science-proof-cascades-through-physics-and-math-20200304/

　　3.https://www.quantamagazine.org/building-the-mathematical-library-of-the-future-20201001/

　　4.https://www.quantamagazine.org/mathematicians-grapple-with-sudden-answer-to-connes-embedding-conjecture-20200408/