曹则贤：从一元二次方程到规范场论 | 中国科学院2022跨年科学演讲（中）_风闻

复数与超复数

一元五次方程这事说完了，回到我们的一元三次方程√-1的问题。我们现在是被人家像水牛强压着头喝水，接受了√-1，但是既然它有用，它就有合理，它就有存在的价值，那么它就应该有意义。

我们现在就要理解√-1到底是什么意义。到底是什么意义呢？我们看：首先，你接受了√-1，你发现那个解始终是a+b√-1，和a-b√-1的问题，这俩一直同时存在。你看这两项一加，后边√-1就没了；你把他俩一乘，√-1也没了。**这就理解了我们说这俩要“共轭”。**共轭是什么意思呢，共轭是说牛的：两头牛用同一个轭，用力就往一个方向去了，这个叫共轭。而共轭是我们数学和物理里面始终会用到的这个词。共轭就是一对变量或一对某某关系的时候，说它们俩是共轭的。共轭的意思就他俩像两头牛一样，要用一个轭才能往一个方向使劲。所以说将来我们这个领导干部配置，将来应该是根据共轭原则，它能用力往一个方向去。能够把各种矛盾，让我别扭的地方能够消除掉。a+b√-1，和a-b√-1受它理解的时候，我们再理解我们方程如果有√2的时候，我们发现就是α+β√2，与α-β√2，他们俩相加相乘也把√2这个让我不舒服的，也能甩掉。**共轭它这个意义它是广义的。**你看这又给我们带来了新的知识。

再往下，我们都认识到√-1，是能接受它了，接下来我们怎么也给它取个名字吧。所以到1637年，法国的这位数学家、哲学家、大神：笛卡尔，给他取个名字，说这是个**imaginary number，是个虚妄的数，是一个虚无的数，或一个想象的数，所以就有虚数的说法了。**到了1777年，起了名字，到这个名字有表达式，又花了140年。欧拉给引进了imaginary的第一个字母i来表示它，说√-1=i。这个√-1=i，我们中国的数学书里面也都是这么教的。对不对呢？不对，因为我们刚才说了：这俩(a+b√-1，和a-b√-1)必须同时存在。这个地方(b左侧)的-1是属于它(√-1)的，这个地方(-)不是减，是它(√-1)的负号。所以说正确的理解应该不是√-1等于i，是√-1等于±i。写成±i也不对，因为有人会把它理解成√-1，既可以等于+i，又可以等于-i。错，是√-1，必须同时等于±i，这才是对的。所以可以理解成√1要同时等于1和-1，√-1要同时等于i和-i，4√-1，要同时等于1、-1、i和-i。这么理解的时候，你将来在数学、在物理应用的时候，你的应用才是对的。

既然我们接受它了，往前发展这个路就好走了，到1813年的时候高斯就把刚才这个a+ib或者x+iy这个东西，就把他称为复数，就是复杂的数，就因为有这么一种奇怪的东西叫做复杂的数。但是高斯这种人就太厉害了，他那时候竟然能随口说一句，说这种表达成x+iy的这种数，它里面有等级。(z=x+iy)这个是复数，还有比复数更是复数的数，他用拉丁语说：那是十足的阴影之阴影。就是我们今天说，我们学什么东西的时候，求你的心里阴影面积。你看那个时候就有这种表达了：他说这复数里面还有更复杂的数，那是十足的阴影的阴影。高斯这种人我们不说了，我愿意把他比喻成，就是从科学家的角度上说他是大鲸鱼类的。我们都知道有个鲸落的概念：一个鲸鱼如果死了的话，它能够哺育一个小生物圈。高斯遗留下的著作里面，如果大家愿意研究的话，里面随便往前发展一点的话，那都有的是内容。

所以说，我们现在看高斯。既然我们接受了复数表达式，我们发现复数与复数相加，前边叫实部相加，后边是虚部相加。然后z1乘z2是这个样子：(ac-bd)+i(ad+bc)，和z2乘上z1是一样的，这就是我们小朋友在中学学的叫“乘法交换率”。但是到1863年Karl Weierstrass就证明了实数到复数这个地方是两个交换代数的扩展，再也没了。再往后再想有z1z2=z2z1这事是没了，接下来我们会看这种事情。

我们会发现引入复数之后出事了，什么呢？就是当我们谈a、b这种实数的时候我们经常会比大小，但是当我们谈复数的时候，a+ib和c+id的时候，我们没法说他们俩谁大谁小。这是我们关于数的习惯地比较大小，这事儿就不能干了。这就逼得我们不得不去理解这个东西到底是什么意思。谁跟我们理解呢？还是要用几何法，你用几何你就能理解了。看几何是怎么理解的：这是初中的时候经常有这种题目，给你两个长度a、b，再给你一个夹角α，你给我做一个三角形。这种题目都有。

大家看如果这个长度是a，这一段是b的话，夹角是在这儿，是和水平面夹角的。如果，大家看，这是夹角α，这个长度是a，那么这个顶点到垂线的距离就是asinα。如果b大于垂线这个距离的话，你画一个圆的话，和它（基线）就有两个交点。这两个交点当作三角形第三点，A、P、B就决定一个三角形。当然了有两个解，这个没问题。可是如果是b要比这个垂线，也就是比asinα短的话，你以它(P)为圆心画个圆呢，就没有焦点了，好像这个三角形就不能画了。结果有人说不对，这个三角形好像还能画。怎么画呢？他说你看这个垂线：那我用这个垂线当作一个直径的话，我画一个圆（绿色虚线）。那我以这一点(P)为圆心，以b为半径画一个圆，和这个圆（绿色虚线）交两点，它也能得出两个三角形，它也是由原来的两个长度和一个夹角决定的三角形，不一样是出题老师的意思吗？但是你会发现有意思了，这个三角形（下图）相对这个三角形（上图）它往上挪了。也就是它提醒了我们大家，当出现√-1这种事情，它意味着是一个和水平面垂直方向的运动，往垂直方向挪了。

那这让我想起什么呢？**√****-1这种存在，可能和上下运动有关系。**这个就触到知识盲区了。那么有没有这回事呢？你会发现同时有很多人注意到这一点。谁呢？我刚才提到了1832年还陨落了一个大神叫萨迪·卡诺，Sadi

Carnot。萨迪卡诺不仅厉害，他们家族将来会出现一个姓庞加莱的。大家不理解为什么卡诺家族会出现一个姓庞加莱的。这是一个据说人类历史上唯一一个什么数学物理都会的。大家知道三体吧，三体就是他（庞加莱）的文章里来的概念，我们不提。将来他的一个侄子是法兰西的总统，卡诺的一个侄子也是法兰西的总统，这一家人太厉害了。那么热力学创始人萨迪卡诺他爹，老卡诺，当年竟然出了一个几何题：说这有一个线段a，在线段上找一点，把这个线段截成两截，这两截乘积等于线段平方的一半。也就是说，我把它写成方程的话就是x(a-x)=a2/2，但是这个一元二次方程大家都会解了，解等于a/2+(±ai/2)。ai/2说明这个点就不在这条线上。另外一个法国人比埃就解释，说这就可能意味着这代表这个点不在这根线上，在旁边。a/2±ai/2，就是这个半截到这儿（线段中点）的距离，再往上这么多距离在这个点（X点），这一点（X点）到这一点（线段一端）的距离乘上这一点（X点）到这一点（线段另一端）的距离，就等于这个a2/2。当然这是直角三角形，大家用几何做法一定就懂这个道理是怎么回事儿。也就是说，现在我们突然认识到ai/2这个东西，它不在你这一条线上，它是在旁边。是个几何意义。

这是数学史上真实发生的事情，没想到有一天我会在我们的日常生活里也注意到这个事情。我的一位朋友带着他的小女儿，我们知道小孩子嘛，有时候弄不清楚方向，所以这个妈妈就故意训练她。年轻的妈妈就问：你现在在我的左边还是右边？小女孩想了半天，特聪明地来了一句“旁边”。左边、右边这是一个一维的概念；当这个小孩子回答说在旁边的时候，大家知道旁边是什么，饶你一圈的时候，这个回答是对的。**这突然告诉我们这是一个从一维空间到二维空间扩展的问题，也就是说复数是一个从一维存在的数，转到二维存在的数。**它天然地就可以用来表示二维空间里面的东西。这个例子也告诉我们大家，看见没有，就是数学史上存在真实发生的事情，在今天依然发生在我们的日常生活里面。所以说我希望大家能记住这个故事的时候，就千万别再误以为那些高深数学有多么难，那些高深的数学和我们的生活它的联系可能就是很紧密的，而仅仅是你不知道而已。

这时候在欧洲挪威有一个工程师韦塞尔Wessel，注意到了复数是可以表述成有方向的线段，其实就是“极坐标”。极坐标在我们中国的古诗里面早就有，极坐标的出现有2000多年了，而笛卡尔坐标，即直角坐标是1600多年出现的，请大家一定要记住。所以在我学数学的过程当中，我误认为极坐标出现的晚，不对，极坐标是最自然的东西。大家记得我们中小学念的诗词：西北望长安，可怜无数山。它指的就是方向+距离。极坐标是特别特别自然的，西北望长安，可怜无数山；方位角+距离。

这位韦塞尔是一个工程师，他就认识到用复数就可以表示成平面上的一点。这样的话从原点出发就是线段。**复数如果表示有方向的线段，突然发现特别有用。**大家知道三个线段组成一个三角形是什么条件呢？你看，用复数代表这样一个有方向的线的话，突然就是这么简单的事情，就是：

也就是说如果这就是原点的话，有方向的线段加上有方向的线段加上有方向的线段，回到原点，这就是三角形。这就是一个三角形的一个不依赖于坐标系的表达，你看这就是所谓的最高深的数学，其实很早很早就有。这个地方我又要提醒大家一句，关于三角形我们上初中就学了，许多人肯定误以为三角形已经早会了。我提醒大家一句，关于三角形的内容太多了，我们在中学教过重心、教过垂心、外心，大家就误认为三角形可能就只有这几个心，我告诉大家三角形里面几何的心最少两万种，你才学三四种，才哪跟哪呢。那许多人肯定不服气，说曹老师你又骗我，说三角形就是画三条边，怎么会有那么多内容呢？你肯定骗人嘛，哪有那么复杂？你看不出这么复杂，是因为你看的角度不对，因为你是从这一点出发，画一条线闭合了，说这个就叫三角形，你觉得没有什么复杂的地方。但是反过来想，假设是这三个随机的线段，随便撒到这个平面上，或者撒到一个空间里，这三个线段碰巧凑成了一个三角形，请问这个条件有多么地难。那么如果你从这个角度来说，突然认识到一个特别难能够达成的事情，它里面一定有特别多的内容。从这个角度你就能明白三角形里面的几何，可不是你我三天两天能学完的。

**现在我们就能理解了，这个复数是一个有方向的线，复数相乘就是这个方向夹角的相加。**我们突然发现bi代表的东西如果是平方是负的，大家知道一个线段如果变成负的就是转180度，所以bi*bi=-b，相当于b转动了180度。转两次是180度，那bi转一次就是转90度。也就是说，如果你用实数表示水平方向的话，那么bi一定表示的是垂直方向，这就告诉我们复数表达的一个平面，就是一个笛卡尔坐标所表征的平面。这个地方我要提醒许多学理论物理的人，为什么我们的复平面和平面不是一回事，因为复平面只能用直角坐标，i代表的是90度的偏转；而一般平面是可以任意两个方向，只要它俩不重合，就能够表征这个平面，这是平面与复平面之间还是有细微差别的地方。

现在我们来表达复数，复数有多少种表达呢？我们刚才已经学了x+iy；第二种就是极坐标表达，就是说距离和方位角的表达；第三种我们将来会学，有这种rcosθ+irsinθ的表达；第四种就是这种一个模乘上一个相位角eiθ，这个θ就叫phase，相因子，这个就是我们将来通向规范场论的地方。那么还有没有别的表示呢？有，比方说我们可以把a+ib表示成这样的2*2矩阵(a,-b;b,a)，这个对角线都是a，这两边的b是-b与b。这样的矩阵的加法和乘法就是复数的加法与乘法。那还有没有表达式或表达矩阵呢？有，有很多，比方说将来你学四元数的时候，可以用四元数来表达复数。哎你不是说四元数比复数更复杂吗，怎么用更复杂的来表达简单的呢？这个地方又牵扯到一个哲学的东西，就是如果我们要用复杂的东西表达简单的的东西，这是一种复杂向简单的回归，或者告诉你简单里面也会内置复杂，有一天你要能学会从高观点下去看简单的问题，你才能看出它的不简单之处。回到比方说刚才的三角形，如果你学的就是在黑板上从一点出发画一个三角形，你永远想象不到它里面有多少内容，但是如果你从高观点，从高维空间说随机的线段它们碰巧粘在一起能够构成三角形的时候，你就能明白它里面包含了多深刻的内容。这也是俄罗斯有一套教材，关于数学物理教材，叫做高观点下有效的xx东西，请家长关注一下这套东西，学会从高观点下去看问题。

那么我们既然学了复数，复数有什么用？复数的用处太多了，比方说数论里面有一个说法，叫做任意两平方和的乘积必定是两整数的平方和，如果你从数论角度证明的话，这个可难证明了。但是如果用复数的乘法，就是复数乘复数等于复数，复数取模就是平方和，那就等于平方和，这是一个算法，算数，特别简单。举个例子，比方说(2+5i)×(4+3i)=-7+26i，这个意思是(22+52)x(42+32)，一定等于72+262，特简单，算就完了，有什么好证明的？大家看到没有，高观点下看问题就能够看出它的简单，也可以看出它的不简单。

那么第二个复数有什么用呢？就是用来证明几何，我们都知道比方说这是一个三角形，从每个顶点到对面中点画这三条中线，然后交一点，这就叫做重心。重心等于什么呢？几何证明可费劲了，但如果用复数表示三个顶点位置的话，重心就等于三个顶点复数的算术平均，(za+zb+zc)/3就完了，哪有那么多事，然后用复数去表达线之间是平行的、垂直的，那就是实部虚部那一乘，到底等不等于0的问题，就特别简单。

知道我们用复数去做几何，将来同学们如果是敏感的话，你就知道天底下将来一定存在一个学问就叫几何代数。学会几何代数那物理表达就更简单了，当然了，你们也一定知道将来还有一个学问反过来叫做代数几何。

复数的用途太多了，有了复数接下来会有复分析、复几何，等等，各种变换，都是用复数。我们在电磁学里面用复数的时候还是羞答答的，是当做辅助工具，去帮助求积分。而等到量子力学里面用复数就是赤裸裸的，因为学量子力学上来波函数一定是复数，量子力学的语言里面一定用复数。甚至复数不过瘾，待会还有旋量，旋量很多人就不懂了。相对论表达有人误以为是复数，不对，那是一个简化，是约化了的四元数甚至是双四元数，如果你懂这些数的时候再看相对论就会发现数学好简单。

这个地方我还提醒大家一句，就是关于复数将来会引入旋量，我读过许多量子力学的书里面都会说描述电子这样自旋1/2粒子用到的数学有多么神奇等等，是量子力学的神奇。直到有一天我发现我被他们骗了，在量子力学诞生之前，所有这些描述自旋1/2粒子的数学都发明出来了，只是你不知道而已。你不知道就在那儿糊弄别人，告诉他这个东西多神奇，量子世界多么难以理解，其实那数学早就有了。关于量子力学表达的虚张声势是由这些人不知道数学造成的，那个东西数学早就有，而且特简单。

四元数的引入

接下来故事就有意思了，我们说复数能够表示我们二维平面里面的转动，转动特别好玩，这个复数a±ib就是实数3±1，5±2的一个扩展。这种3±1=（2，4）在一条直线上，a±ib变成平面的扩展，立马就有人说一件事情：不对，我们生活的空间不是二维的，我们生活的空间是三维的，所以如果有一个数能够跟它描述二维空间里面的物理似的，能描述三维空间的物理那多爽呀。所以这就有人想把a±ib这样一个描述二维的数给表示成描述三维的数，这个事儿是谁干的？就是刚才我提到的那个哈密顿，哈密顿想：这样一个数什么复数不复数的，它就是一对数而已，只要它的加法和乘法弄对了，你写成什么样都无所谓，所以请大家记住形式不是重要的，重要的是它的算法，它的加法和乘法是什么样子决定什么叫复数，而不是你把它写成什么样子。

既然需要一个这样描述三维空间世界的，那我就去发明一个能够描述三维空间转动的代数三重数，(a,b,c)这样的数，我只要找出它的算法，能够表示成三维空间里面的事情不好吗？当然好了，所以这位老先生就开始忙这件事情。刚才我提到这个人的姓名是世界最重要的名字，每一秒钟都有人在输入，我给大家讲一句他的故事这个人有多厉害呢，这个人是他叔叔带大的，叔叔是中学老师，3岁的时候跟他叔叔。叔叔就开始教外语，学了十年，3-13岁学的都是外语，学完了从他老家爱尔兰经过整个欧洲，经过小亚细亚，经过波斯、印度，这一路上所有的语言都学完了。从3-13岁学完了从爱尔兰经过整个欧洲，经小亚细亚、欧洲、波斯的范围，甚至他还会点马来语，就已经学完了。21岁大学没毕业的时候就被聘为了教授和天文台台长。

我们现在中国学霸这个词儿特别泛滥，请大家对照一下看谁还好意思管自己叫学霸？而且到这一点的时候我特别提醒一句我们的外语学习的问题，我们从幼儿园许多家长就急哄哄地送孩子学英语，结果到博士了还有考博士英语，也就是说为了考英语许多人就能考20多年，这是一个特别浪费时间的事情，不带这么玩儿的。好好想想怎么学习外语的事儿，有空咱们再聊这个事情，今天咱们先聊怎么学数学。

哈密顿现在要发展出三元数，(a,b,c)这样的三元数，能够表示我们三维空间的物理。那么怎么发展三原数呢？当然简单了，二元数是a+bi，他现在说a+bi后面再+cj；i的平方等于-1，那我要求j平方也等于-1不就完了吗？加法当然没有问题了，我们来看乘法：a+bi-cj如果乘以自己的话，等于没有i项的、有i的项、有j的项，结果出现ij+ji的这一项，这个东西怎么办？他发现如果你要求ij等于0，或者要求ij等于负的ji的话，这项都能抹掉。这一个问题解决了，但是他发现如果这是两个相同的三元数乘积，如果你要算任意两个三元数乘积，或者任意两个三元数模平方乘积的话，它麻烦了。因为什么呢，他发现这样构造的三元数乘积结果永远是四项，就永远多出一项，这个东西不好玩了，所以这个问题他就老解决不了。

老解决不了大家看出现了一个什么事情？哈密顿从1830年，25岁的时候开始考虑这个问题，结果考虑一段时间放下了，过两天又拿起来，拿起来没有搞定又放下，结果一使劲就考虑了13年，这个问题还没有解决。因为他13岁离开，学完那么多外语，21岁没毕业就是大学教授，30岁封的爵士，所以他的名气太大了，名气太大就会招天下的英才上门讨教。结果在1843年夏天的时候有一个19岁的德国人Eisenstein来拜访他，到英国来看哈密顿，双方进行了亲切友好的谈话，这个谈话没有谈多久把哈密顿吓一跳。哈密顿说这个德国小伙子太聪明了，数学知道太多了，如果我要不赶紧把刚才这13年的事儿干出来的话，估计这个新代数就会被这个德国年轻人先干出来。他说先把别的工作放下来，专心做这件事情，这是6月份的事情。

1843年10月16号这天下午，哈密顿和他的夫人在沿着爱尔兰运河去开会的路上突然灵光一现，说既然两个三元数乘积永远等于四项，13年没解决这问题，那从一开始就是四项不就完了吗？大家看到没有，这就是一层窗户纸的事情，他能够琢磨13年没有琢磨清楚。老是三项乘积等于四项，那一开始四项不就完了嘛，所以这个数一开始就是a+bi+cj+dk这样一个四元数。这个ijk平方都等于-1，就像原来的i一样。然后它的乘法就是ij=k，jk=i，ki=j，这不就完了吗。所以这位老兄当时想出来了，特别激动，又生怕待会忘了，就从地上摸出一块石头，赶紧把这个公式刻在他路过的那个桥上，生怕忘了，接着去开会去，会上就告诉他科学院的同事们说我刚才想到了这个问题，下周来给大家报告。这座桥就是爱尔兰的Broome桥，世界上最重要的科普基地，因为这座桥上就刻着重要的公式“i2=j2=k2=ijk=-1”，这是人类史上最重要的，因为1843年10月16号下午，这都是有点的这样一个创造。

这个创造出来以后就很有意思了，这个四元数乘上四元数还等于四元数，四元数乘出来虽然都还是四元数，大家看到没有，表达式特别复杂，既然表达那么复杂那么长，那么麻烦，这就是一种危机。这是我们常说的一句话，危机意味着机会，对不对。因为乘法太长了以后，逼的这个人不得不对这样一个表达式做简化，要提出新概念，要把四元数表示成两个部分的和q=r+v，前面这个东西他管它叫做标量，后面三个加在一起他管它叫矢量。也就是说我们今天在数学在物理里面学了那么长时间矢量标量，我们一头雾水的东西，其实是四元数的两部分。

知道这样一个矢量和这样一个标量，它们俩的相加、乘积就引出了这个乘积的表达式：这就是两个矢量的点乘、叉乘，这就是我们读研究生、读大学的时候电动力学里面的点乘、叉乘的概念。当年我学这个东西是学的一头雾水，而且重要的是不管是在我们的中文课本里面还是西方语言的课本里面，关于矢量这个概念基本定义都是错的。我们汉语的矢就是弓箭，就先天地以为说它像弓箭一样是个有长度、有方向、有箭头的一个量。错，矢量这个意思本身叫vector，叫承载、叫疏运，就是我们雷达车或者如果一条狗，狗身上带跳蚤的那条狗就就叫vector，叫做承载者、携带者。这个vector本身只要满足这种线性的加法和乘法它就叫vector，它可以有长度、有方向，但是它不必须要有长度和有方向，这是重要的。这就是为什么我们，尤其是我当年学电动力学的时候看的那些点乘、叉乘乱七八糟的那一堆公式，老师也不懂，然后我们大家就跟着背，背了过两天又忘了，为什么？就是因为我们根本不知道标量和矢量是四元数两部分，就是满足四元数的加法和乘法。只要知道四元数的乘法，所有这些公式都是自然而然的，根本不需要背。

这就带出来一个很重要的现象，到底是怎么造出这个现象的，就是电动力学书。大家回忆一下电动力学书，国内用的是郭硕鸿先生的，美国著名的是杰克逊的经典电动力学，它们后面都有两页点乘叉乘这种公式，大家看这个公式记起来是不是特吓人。当年我记这东西也记不住，我考试也不及格，我现在突然想明白一个问题，大家想象一下，一本书后面为什么要列两页公式？那什么意思呢？意思是说它根本没有指望你会，对不对，这本书后面列了两页公式就是让你查的。让你查的意思就是你是不会的，而且你学完我这个课你还是不会。

可是我们的学生中间有优秀的学生，几年前我在武汉大学做讲座的时候，做完讲座我要到机场，结果有一个男孩子一拉车门坐进来的时候说老师我送你去机场，我和你聊几句。这个学生是哈尔滨人，大二的学生，他就问出了如下这样的一句话。说曹老师我读了杰克逊经典电动力学，我觉得他有问题，但是我不知道是什么问题，你告诉我是什么问题。那我告诉他什么问题呢，就是因为关于这个地方的问题，这一个把标量和矢量分割开来是一个热力学统计物理的奠基人吉布斯，是个美国人。当年到欧洲留学，回来把这两部分给砍断成两截，然后又因为美国后来成为世界科学的中心，流毒甚广，造成一个错误。而且我们大家一定要知道，电动力学要点是讲电流怎么产生电力、产生磁场，所以它研究的是电流，但是电流是线。所以说研究电磁学，研究电流的学问一定要用线的代数，这个词儿叫Linear

algebra，我们汉语把它翻译成线性代数，是我们的中国理工科大学都要学的。而这个翻译是完全错误的，因为从线性代数你不知道它是干嘛的。它不是线性代数，它是线的代数。就是说是点的代数到线的代数，到面的代数，这是一个几何的东西。它的几何这个线的代数的数学就是后面的四元数和后面发展的Clifford代数。你把代数弄对了，学问就弄对了。

这也是又回到回答刚才主持人的问题，就是我为什么去讲这些问题呢？就是因为这些都是我当年学过的，受了很多委屈，我现在发现不是我当年不好好学，是因为那书也不对，那老师也不会。

现在我们回到四元数的表示，我们看四元数是可以表示成2×2的矩阵的。我们刚才说了复数可以表现成2×2矩阵，四元数也可以表现为2×2矩阵，但是它的每个矩阵元是复数，是a+ib、a-ib这种形式。这是一个2×2的复数矩阵，它里面有几个数呢，abcd四个独立的数，所以我可以把这样一个2×2的矩阵当成一个矢量，它有四个方向的基矢量。这（第一个）基矢量这是单位基矢量不提，这后面这三个基矢量是什么东西？实际上就是我们上大学时候学的Pauli矩阵，量子力学的泡利矩阵。当年我学量子力学的时候就觉得泡利好聪明，他怎么得出这个矩阵。现在我明白了是人家小时候上的课课本里面有，不是泡利发明的、多聪明的，他小时候学的课本里面就有。

而且我在不同的地方给大家讲过了，泡利上中学的时候有多滋润呢？是因为他爸爸上大学的时候同班同学遇上个大神叫做马赫，他爸爸同学马赫不是大神，但是马赫的爸爸，恩斯特马赫，是数学家、物理学家、哲学家，是大神。当然请大家记住，一个天才一定要长的好看，讨人喜欢，这个泡利就长的特别讨人喜欢，就深受他爸爸的同学的爸爸，恩斯特马赫大神的喜爱。所以这个爷爷级的大神恩斯特马赫能愿意做他的Godfather，做他的干爸。他小时候这位大神指导他，就说最顶级的爱因斯坦想攀都攀不上的大神，恩斯特辅导他。

等到泡利上中学的时候，马赫说岁数大了，我辅导不了你。结果怎么着呢？从维也纳大学派了一个数学教授维特厄，就是我们上大学学量子场论里有对x和对z的共轭求微分的那个表达式的那个维特厄，去辅导他的初中数学；从维也纳大学又派一个理论物理讲师辅导泡利的物理，这也就是为什么泡利高中毕业进入到慕尼黑大学的时候，慕尼黑大学物理大神索末菲说我可没有啥教你的了，你的水平太高了，就是这个道理。所以说教育这个问题如何提高老师的素质，如何让全社会里面特别有学问的人抽着空利用吃饭时间，或者利用旅游时间多给孩子讲讲课这点太重要了，一定要请大神。这就是四元数。

接下来如果你把四元数每个虚部写成两个泡利矩阵的积，那么你可以把四元数表达成这个形式：q=a+bσ3σ2+cσ1σ3+dσ2σ1，这就是bi+cj+zk的问题，i就对应了两个泡利矩阵的乘积，也就是说这告诉我们i和j和k它不是一个线方向的东西，它是个面的东西。

又回到刚才我们说的，我们学代数要学点的代数、线的代数、和面的代数，四元数是面的代数，所以说ijk是面的方向，这个ijk本身构成三维空间的矢量，但他们本身是面的量。这一点我今天竟然遇到一个人，他说他中学的时候老师教右手定则就是ijk乘法右手定则，他觉得别扭了。我再说一句，就是如果你上中学的时候老师教你右手定则你没有觉得哪别扭，那大概你学物理数学就学不出来了，就是那里面明明有问题，你感觉不着，有人是有感觉的。

那么四元数还能表达什么呢？四元数可以表达4*4实矩阵，abcd都是实矩阵。这种4*4的矩阵，因为又四个独立的数，我也可以当他是四维的矢量，它的基矢量是这四个矩阵：

你看这四个矩阵想到什么了？这就是我们量子力学的**“狄拉克矩阵”**，狄拉克矩阵可以由泡利矩阵构造。有人就说狄拉克矩阵是从泡利矩阵里构造的。狄拉克说不对，那是我自己构造的，其实他们俩谁不是自己构造的，都是原来有的。你只要读哈密顿的书，哈密顿的四元数入门里面都有。

所以到这个时候我特别想说一句感慨，就是我们学物理，尤其是学理论物理为什么感到困难，就是因为我们在开始学之前不知道它所需要的数学，学了之后也不知道人家需要这些数学。所以如果你没学过这些数学，学这些内容就觉得人家好神奇啊，太厉害了。如果你要学过这些数学，你就觉得好自然，它本来就应该是这样子。这就告诉我们大家，学物理一定要有一个习惯，既然选择了学物理，就一定要好好学数学，因为数学是物理的语言。你如果是学物理，不去数学，你会花很多的功夫还不明白，都苦死了。

那么我们看四元数有什么用，就刚才还是四元数完全平方的问题。就很简单地，就能证明四个整数的平方和和另外四个整数的平方和的乘积还是四个整数的平方和。这是大神欧拉1748年不知道怎么算出来的，可是你用四元数乘积特别简单就能算出来了。我给大家举一个例子，同学们记住这个例子，回去吓唬不会的同学：(12+22+32+42)(22+32+42+52)，你很轻松地就可以用四元数乘法，就能算出来等于362+62+122+122。就是一个简单的算式。但是你从数论的角度，想得出这个结果，那你就累死了，只有大神能干出来。

欧拉大神厉害到什么程度呢，我请大家记住，他晚年已经是瞎了，已经完全看不见了，但是他还差不多保持着三天一篇论文的记录。而且最重要的是欧拉现在去世已经230多年了，他的论文整理还没做完呢，想象一下他做出多少成就。所以说，这个地方又是我以前的一个感慨，如果用数论证明特别难，用四元数算的话特别简单，就是一个例题。我特别想说一句，你的累死累活，如果不掌握方法，不过是别人的轻描淡写。尤其是前两天有人算算自己一年挣的钱，再比较一下别人的罚款，说从老祖宗是猴子的时候算，我挣钱都没有人家挣的多。不对，单位时间挣的钱数不对，这就是跟这个一样，层次不对。你如果把它限制在数论层面，这个问题就是个顶天的难题；算成四元数，这就是一个习题。

那么四元数有什么威力呢？四元数的威力可大了，因为四元数有个很重要的性质，就是q1q2不等于q1q2，也就是说四元数乘积顺序不能颠倒。不能颠倒意味着什么呢？你会发现日常生活里面许多东西是不能颠倒的。比如说早晨起来你是先洗脸还是先刷牙，你发现这个问题好像不太重要，先洗脸后刷牙，或者先刷牙后洗脸都没关系。但是穿鞋与穿袜子好像这个顺序就不能倒，先穿袜子后穿鞋还是先穿鞋后穿袜子，好像这不行。也就是说我们的自然里面是有这种前后顺序不能颠倒的物理过程，如果前后顺序不能颠倒的过程正好有了前后乘法不能颠倒的数，你就知道这个数可能就是描述这个物理。比方说转动，前后不能颠倒，四元数就乘法不能颠倒，于是乎你突然认识到，四元数本身是可以用来描述乘法的。而且而这个乘法不是a*b，是先乘一下，然后再还要倒回头的这种乘法，而且最重要的意思是你绕着一个方向转出θ角的时候，对应着是相当于用的是角度为φ的四元数乘积结果。相当于这个矢量，绕着它矢量的这个方向转φ/2角。然后突然你会发现量子力学关于电子自旋的1/2是哪里来的你突然就知道了。

当年我们学这些东西的时候看日本人J.J.Sakurai的量子力学去描述这个转动。哎，我都神奇死了，我就不懂。我读理论力学的时候，理论力学人用欧拉角描述转动，然后我就一步一步跟，我也跟不会，当时我就直觉觉得它一定是错的。当然我们那时候老师不理你，你要是认为他错了，你题没作对，反正给你不及格。但是多年之后我终于发现它确实是错的，欧拉角描述这个转动，一不能构成群，二不唯一。所以，欧拉角描述三维转动，有工程上能用，但是它不构成学问，而三维转动要用四元数来描述。就是我现在觉得特别有种冲动要找当年的老师再找几分回来，真的不是我不会，是我竟然能认识到那个学问是错的。

这个地方感慨的是从前的欧拉转动定律的证明特别繁杂，但是用四元数就是简单的乘积。这个地方我的感悟是一个问题为什么复杂，它是由于你看问题的层面低才复杂的，比方说像我这样的科学家做一个课题，需要百八十万块钱的时候这就是一个特别复杂一个了不起的事情，可是从国家科技布局的科技问题，你那一百万算什么钱呀。对吧，你把层面放的足够高的时候，问题就简单了，就没那么复杂。这一点其实是非常重要的一个问题。

OK，现在我们看四元数作为乘法的问题，我刚才已经提了，格拉斯曼在1844年的这本扩展的学问里已经提供了16种乘法，而同学们你们其实在小学的时候就应该注意到两种不同的乘法。比如说3×4，这就是简单的两个数的乘，可是一个篮子里有3个苹果，2个篮子里面有6个苹果，2×3，前边的“2”就是算符，而不是两个苹果。就后边的3是3个苹果，前边的2是加倍，是操作，是多方一篮子在这儿，它是个动作。你看这些乘法我们小学老师都不跟我们讲，所以说乘法这个事情，有各种各样的乘法，有2×3=6，也有2m×3m等于6m2，也有两个矢量乘法等于点乘+叉乘的方法，也有v’=qvq-1这种先做q的逆乘上它再乘以它的乘法，这叫共轭的乘法。也就是说世界上乘法有很多很多种，目前为止基本上许多人一辈子乘法就学到这儿（带单位的乘法），许多人学物理的人乘法都没学到这儿（矢量乘法），在这儿说什么能量、物质，其实就是不懂这个公式。懂这个公式，就没那么事情了。

这就说明什么呢？这就说明乘法这个东西，前边的东西叫算符，后边被乘的东西叫乘法的对象，乘法的对象要发明的，要找着的。我们看复数的乘法，复数乘上复数还等于一个复数，复数乘上一个这样二阶的列，还等于二阶的列，这个二阶的列和复数是可以等价的，所以当年我们做2×2的矩阵，实数矩阵这么乘的时候，好像觉得这俩不是一回事，但是也没觉得怎么不是一回事，因为它（矩阵(x,-y;y,x)）与它(二阶列(x,y))可以等价，所以就没觉得有什么事情。可是当我们用四元数乘积的时候突然事情就不对了，因为四元数乘以一个四元数等于一个四元数，四元数乘以两个分量的两阶的东西等于两个两阶的东西，但是这个东西和四元数是不相等的，也就是说这冒出一个崭新的对象，被四元数乘的这个东西有个崭新的对象。这个崭新的对象就是去年得诺贝尔奖的这位大神，特别善于玩的东西叫旋量。**也就是我们有四元数之后，近60年之后才找到四元数乘法的对象，叫spinor，叫旋量，花了60年的时间。**这个东西就是描述转动，描述粒子自旋性质的数学。我当年学量子力学就被他们说，这是一个多么多么了不得的东西，是量子力学的神奇的东西，其实不对，就是简单的数学。

1843年10月16日，就发明了四元数，我们的哈密顿告诉了他的朋友格莱乌斯，格莱乌斯两个月之后就发明了八元数。八元数就是一个实部加上7个虚部，八元数表达方式有多少种可能呢，有480种可能。480种可能太复杂今天就不提了，但我提醒大家一句：八元数不仅他俩乘积的顺序不能颠倒，而且是三个数相乘的顺序，不是先后顺序而是先干哪两个乘法，这个顺序也没有。也就是说我们小学乘法的那个叫乘法的结合率，也不存在了。现在就回到一个问题，我们小时候学算术，不就学123456这种算数吗。老师在教我们说乘法有交换率，有分配律，你们没觉得哪儿奇怪吗？这种东西都知道2×3=3×2，2×3×4，先做2×3，还是先做3×4是一样的，你老是说乘法交换律、分配律干嘛，没必要啊。为什么呢？就是因为真实的数学不是这样的，真实的数学是当我们发明了八元数，我们想干成十六元数根本干不着的时候，我们才总结乘法是有这种交换律、分配律，并且到八元数的时候交换律违背完了，分配律也违背完了，往下你没路可走了，所以再也没有了。所以说这个世界上，只有一元数、二元数、四元数、八元数，四种情形，这叫做Hurwitz定理，这个地方我们不说四元数，我们说乘法的交换律与分配律。

这就让我有一个特别重要的感慨，它提醒我知道一个最根本的事实：**许多东西不是因为它有你知道它的存在的，是它没有的时候，你才知道它的存在的。**比方说很多年轻人，你不知道你恋人对你有多好，或者对你多么有意义。等有一天你失去他的时候，就知道他有意义了。或者像我们中国的古诗里面，我们父母对我们的爱是毫无条件的，所以父母在的时候，你也管不着他们的事。因为他在，所以你不觉得他的存在，可是有一天当他不在的时候，你才突然认识到他存在的意义，所谓我们古诗里面说最悲伤的事情是“子欲养而亲不待”，他不在了你才能知道意义。而且这些对于我们在学问上也是对的。我们作为一个中国人，整天说中文，其实我们对中文的语法、中文的构思，一般人几乎都没有认识。可是如果你跳出去，你如果用另外一种语言说话，用另外一种语言思考，你回头看我们中国语文里面的时候，会发现中国语文里面有很酷的东西。比如说当年法国人要判断罗塞塔石碑上面字的时候，就注意到中国字的特别重要的东西，就是中国字是从鸟兽演化过来重要的过程，就是象形字，光表意，山、水，大家都知道，到有一天发展出既表意又表音，到发展到有一天我们的字不表意只表音。大家听这三个阶段，脑子里想想哪些汉字你能想出来只有图象，图像+音，和只有音的。像玻璃、葡萄是音，放在一起才有意思，像粘，米字旁一个占，它就有意，同时又告诉你音。这都是语言发展过程特殊的东西，你从另外一种语言来看的时候才突然懂得这些东西。

现在我们看代数的规则，我们刚才说了有交换律和结合律的问题，一元数，就是实数，都有；二元数都有，四元数就没有交换律了，只有结合律，八元数结合律交换律都没有了。都没有的时候我们才认识到有这些规律。我再提醒大家一句：无是个非常重要的存在，从无里头我们才能理解一些有。

说完了这么多，先说数，复数、四元数，由四元数产生的现代代数，现代代数上面发展的Clifford代数，这些东西是我们学电动力学、学量子力学非常重要的东西。比如说我们许多研究磁学的人，到现在不知道磁场B在数学上到底算什么，这是今天我们给大学生研究生留的第二个作业，磁场B在数学意义上到底是个什么？相对论也会用到双四元数，八元数的物理现在有人在研究，但是没有什么结果。

当然像复数、四元数，当20世纪诞生了量子力学以后，复数一瞬间就风光无限。这有很多学问，我们学物理、学数学，会学经典力学、经典光学、波动力学、波动光学、波动力学就是所谓的量子力学，电动力学、相对论、代数、代数方程、复数、超复数等等，这么多学问学科都跟蚂蚱一样，你觉得很散，但是这么多蚂蚱用一个绳索能串起来，就是这个词：Hamilton。所有这里面的东西，你如果熟悉Hamilton的工作，这些东西就能串起来了。这个人叫William Rowan Hamilton，我再提醒大家一句，13岁学完一大堆外语，21岁大学没毕业的时候成为教授和天文台台长，30岁封为爵士。