曹则贤：从一元二次方程到规范场论 | 中国科学院2022跨年科学演讲（下）_风闻

群论

我刚才费劲讲了半天都是比较浅显的东西，现在稍微进入有一点深度的东西是群。我们老祖宗有一句话，叫“物以类聚人以群分”，你看这个成语多酷，群是用来给物分类的，这门学问都在这儿呢。

那么这一门学问有没有呢？我们看法国有一个电影，三部连续剧，第一部是《棋牌在哪里》，第二部是《人们又找到棋牌》。这里面有一个故事，一个德国兵逮了两个法国俘虏，让他们去牵两头奶牛过来，给俘虏的法国军官们喝牛奶。但是牛不听话，结果牛跑散了，两个法国人也跟着跑散了，押解的德国士兵们就不干了，说“Gruppieren”，就是德语的“组织起来，你们不许跑”。法国人听不懂，Gruppieren是什么意思？Ah, Gruppiere（群）, Ca veut dire Ensemble(集合，系综)。我明白了，德国人说的Gruppiere，就是法国人说的集合系统。你看“集合”这个概念就是中国汉语统计物理书里面最难的东西，所以叫系综，我们把它翻译成“系综”了，其实在法语里面统计系综和数学的集合是一个词。为什么我们学东西都是那么费劲，很多人家一个词在中国，同一门学科里面都分成不同的词。数学物理，又单独地不同地翻译，让我们学习得苦死了，现在我们就明白了有一个Group，叫群的东西，群的这门学问加上微积分、加上变分法、微积分方程，就是我们学物理人必备的四大数学工具。

经常有人把物理学，把我们的宇宙比喻成一个毯子，毯子上边有特别漂亮的图案，这些图案是对称的。但是怎么描述一个毯子，或者怎么织布的图案，就要用群论。比方说关于布上的花样，就只有17种空间群。大家都想象不出来我们中国的老祖宗有多聪明，二维平面布的花样或者窗棂的花样，只有17种空间群。如果大家有空到宁波的天一阁，你看它的窗棂，它几乎17种空间群的窗棂都有的，甚至在最后有一面墙上，把这些窗棂放到一面墙上给你一个总结，让你看清楚。这些都有，但是没人懂这个。

过去几年我讲了相对论、量子力学，我突然发现这些智慧都在老祖宗里面。比如说相对论，我们北京西山大觉寺乾隆皇帝提的字，提的八个字的匾：“无去来处，动静等观”，就把相对论的精髓全说清楚了。葛洪的抱朴子里面有枉曲直凑，就是说你把直的给它弄硬弄弯了，就弄成曲的了。过去做车轱辘，你不都用直的木头一点一点弯，弯成这样的曲的吗，所以说枉曲直凑，这一句就把微分几何的所有思想说清楚了。那么今天关于群论的，物以类聚人以群分，这个出自于《战国策》。所以看着这几个相对论、微分几何、群论，我特别感慨老祖宗什么道理都说的那么深刻，怎么没本事把它发展成一个学问体系呢？最深刻的思想全说清楚了，怎么不把它弄作一个理论呢。

现在看群，群就是一个集合，一堆东西。这一堆集合里面元素可以互相乘，就是乘法。大家又学了一种新的乘法。这个乘法的结果还是在这个集合里面，这个就叫群。所以群是这样的元素，乘法结果除了还在集合里面，肥水不流外人田以外，还满足三个条件，第二条是要满足结合律，这点很重要；第三条要满足有单位元，就有一个东西乘不变，也就是说我们平常自然数乘法里要有个1；第四条是要有个逆，就是有一个东西乘了以后，再乘上另外一个元素等于没变。它是一个特殊的集合，这个集合的乘法要有逆。就有点像我们的电梯，有些电梯按错了就不让你逆了，但有些单位的电梯就有逆，你按8楼错了，再按一下就回来了。这一类有特殊的乘法的集合就是群。

其实群大家都熟，比如说平常的自然数，加法当作乘法的话，任意两个数相加，还在这里面，它就在这个集合里面；加法满足结合律就不说了，一定有一个单位元，单位元是0，因为任何一个数加上0，还等于它本身，没变；每个数都有一个负数，是它的逆，你看这样就满足了。然后复数的乘法，1，-1，i，-i，这四个元素你用复数的乘法的话，乘积结果一定在里面，一定满足；然后有单位元1，也都有逆，你看见了没有，这些集合就叫群。你发现x4=1的四个根就构成了群，或者刚才说的四元数都加上正负号，这八个元素就是Q8群。这些群都会在自然界里面有对象，能够让我们描述它的性质。

不跟大家讲细节了，只是告诉大家刚才我们有群这个东西，只告诉大家群元素貌似是等价，但是请大家记住，群里面一定有更深层次的结构。有点像我们说你是哪儿的，我是物理所职工，物理所职工上千号。从物理所职工，这个角度大家都是等价的。但是不对，里面一定有各种各样的结构，理解这样的结构才算理解了这个群。我们对别的单位与社会的理解，我们都是中国人，但是中国社会有各种各样的小的区域，有不同层次的事情，你只有理解不同层次的小结构，才说明你理解了这个社会的问题。这个思想非常重要。

那么有了这样的一个群论的角度，拉格朗日考虑了“子群陪集”，就是所谓的商群，就是用来理解伽罗华说的一元五次方程没有解的原因，给一般听众解释实在是太费劲了，我也不讲了，比较专业的同志们等着看PPT吧。

李群、李代数与规范原理

现在要给大家讲一个重要的东西，如果这个群元素不是刚才那种分离的，而是连续的，这叫做李群，李群的子群是正规子群，商群子群则带来纤维丛理论。规范场与纤维丛理论一样，是由中国人领先做出来的重要成果。规范场论从杨振宁先生而来，纤维丛就是南开大学的陈省身先生提出。我当年读的时候觉得很费劲，我后来想，什么是纤维丛？就是毛豆腐，上边长了毛毛，就是纤维，下面就是基空间，这并不是很难懂的东西，换算成数学的概念就行了。所以请大家记住，学这些东西，能把他们看作是具象的东西就能理解的好一点。

现在给大家举个例子，群这个东西为什么有用，我们看一个正三角形，三个顶点是1、2、3，你可以做什么操作？你把1、2换一下，2、3换一下，或者绕1、2、3绕120°或者1、2、3绕240度，这个正三角形都不变，也就是说正三角形就有6个操作，不动是一种操作，第二个是过三个顶点的镜面，第三个绕120°、240°旋转。这六个操作，既可以表示成1、2、3的替换，也可以表示成这样6个这样的矩阵，这告诉我们什么事情呢？告诉我们群可以有不同的表示。

所以如何表示群，是群论重要的性质或者是重要的学问。有人说还是不懂，我再给你举一个简单的例子，我们大家都知道观音菩萨，你看有千手观音，降魔的时候是一个凶狠的形象，可是观音菩萨还负责什么？观音菩萨还负责送子，观音菩萨是原佛教里的次行道人，次行道人是男性，男性来送子总是不太方便，所以人们把他改造成一个女的，所以如果大家看观音像就很有意思了，有千手观音，有带胡子的观音，还有送子观音，各种形象都有，为什么？因为观音能够聚千般于一像，观音才能观世音，听到我们的悲苦才能及时做出不同的反应，是降魔还是送子。“群”也是，一个群有不同的表示，不同表示在不同地方有不同的用。

群论来自不同的地方，最重要的是李群和李代数，群论来自数学各个学论，来自代数、数论、几何、分析。在这里我们要提到一个来自德国 哥廷恩大学的Klein，Gauss，他有一天突然明白了几何的分类是要用它的群，他在大学做了一个报告，这个报告就是后来数学史上重要的爱尔兰纲领。

李群、李代数说的是什么意思呢？李群是一个连续的群，所以把它表示成指数函数的话，指数函数如果等于1的话，说明它上面的参量X等于0，所以知道这个参量就能知道李群是什么样，这就是所谓的李代数问题。这个概念很复杂，没法给大家细讲。但是可以举一个例子，比如二维复数变化连续群，就是李群，它可以表达成指数函数的形式，通过选择指数，可以将二维转动表达成一个矩阵，这就是李群、李代数的威力。

为什么要说李群？李代数呢？因为这个他们是通向规范场论的必经之路。群里面有什么重要的群呢？一个是描述二维复矢量空间的转动群叫做SU（2）群，扩大一点就是描述三维复矢量空间长度不变的群叫做SU（3）群，SU（2）群是三个，Pauli矩阵，刚才已经提到了，如果是SU（3）群，除了单位群还多出8个矩阵，这8个矩阵就叫做Gell-Mann矩阵，这个人和什么东西联系在一起呢？就是很多科学爱好者喜欢的名字“夸克”，所以请同学们要知道夸克用这8个矩阵描述，才算知道夸克。

接着往下说。物理理论，一开始从观察、构造公式开始，但是学到高层次要知道我们的物理理论是从五个原理开始，比方说我们生活的社会里面作为一个中国人要爱国，爱国就是原理性要求。经典力学和光学就是最小作用量原理，热力学就是Carnot原理，这个原理容易讲清楚，就是凡不以干活为目的的传热都是浪费，或者不以做工作为目的的上班都是浪费，但是就是这样一个简单的原理，如果说不是工作中的传热都叫做浪费的话，一个热机工作就是两个等分过程或者两个绝热过程，这个过程本身叫做可逆过程。可逆这个活儿就得倒着干，我们从高温吸收热量，从低温释放出去，让机器做工，既然可逆，我就可以通过干活把热量从低温转移到高温处，人类就这样知道什么叫制冷了，从原理出发的科学威力是极大的。

相对性原理告诉我们物理公式和你观察的运动状态、用什么坐标系没有关系，跟参照谁没有关系，跟你的坐标系没有关系，你的物理定理要表达成这个形式，这就叫相对论。

除了这三个，学物理还要学一个规范原理，什么叫做规范原理？来自于这个法国人，这个法国人许多人可能不知道，但是他爱人大家都知道，就是居里夫人。居里先生对物理学贡献有很多，请大家记住物理上凡是带居里的都是居里先生。居里先生给物理学带来最大的贡献，我个人认为就是她1894年的认识，他发现描述存在的对称性数学对象应该作为物理学研究对象，刚才学的矩阵、转动数学描述，1894年居里先生说这本身应该是物理学的研究对象，从此开启了一个用对称性决定大自然里面相互作用是什么样的时代，理论物理开启了新的时代，固体物理开展了一个新的时代。

这个思想产生后，德国人尤其是哥廷恩大学的人如，Felix

Klein、Emmy等等马上把群论用到科学上。静力学、固体物理、理论物理都用。这个地方有两个大神，一个是爱尔兰大学到哥廷恩工作的，一个是哥廷恩毕业的学生，这个人有多厉害呢？在哥廷恩1918年校内的一篇杂志，几乎涵盖了近代物理的大量内容。在1926年薛定谔写出量子力学方程，但是1928年Herrman Weyl写出了群论与量子力学，配上1931年Wigner群论及其原子谱量子力学应用，这些是让量子力学成为一门大学问两部重要的文章。

W****eyl这个人学问有多大呢？Weyl 1928年写这个书的时候竟然知道中国成都文竹院，对称性这本书里面他插图第63就是成都文竹院的窗子，多少人去文竹院看不懂窗子里面的花样。

**群论有多困难呢？**今天听讲座的朋友肯定说我没有听懂，为什么你没有听懂？因为一流物理学家都不懂，当这两位老兄把群论引到量子力学的时候，德国为中心的一流物理学家也是不懂的，他管群论叫什么？这些物理学家管群论叫做“群瘟”！所以我就很感慨，一流物理学家对于自己没有本事理解的学问一点也不免俗去贬低，请大家理解，这是正常的心理状态，当我们不能理解它的时候就贬低它。

在1918年，这时欧洲大瘟疫流行，流行到欧洲世界大战主要参加国都打不动仗了，1918年第一次世界大战结束了。但是它在科学上非常重要，1918年以前爱因斯坦已经发现了量子力学，狭义相对论，但是在1918年，德国哥廷恩有一个女老师写了一篇文章，这篇文章叫做不变的变分问题，就是这篇论文建立了对称性和物理的守恒律关系，让物理学跨入了一个新时代，是对称性决定相互作用的时代，我们经常说谁的文章有划时代的意义，这一篇就是有着划时代的意义。

规范场论的诞生

1918年，同样是从哥廷恩大学毕业的，在瑞士ETH任教的和爱因斯坦交好的数学家外尔开始研究物理，为什么？给广义相对论夯实基础。他的导师是哥廷恩大学的希尔波特，希尔波特年轻的时候接受了一个任务，给数论写综述文章，但是写的过程发现数论基础很不扎实，所以给数论再次奠定了个基础。外尔给广义相对论写综述，说爱因斯坦不懂数学，给爱因斯坦广义相对论奠定数学基础，这个结果就带出了规范场论。

这篇文章思想就是物理学由哈密顿原理来，函数积分作用量最小才是物理的现实，这就是哈密顿原理。她注意到让积分最小，就有特殊的对称性，特殊的对称性就是常见的时空对称性，这是爱因斯坦的相对论。她是学数学的，她说如果有别的对称性呢？比如时空对称性就是能量守恒、动量守恒，这个大家都知道，她说如果有抽象空间对称性就能引出新的物理，这就是规范场论。这个女士是学文的，今天有很多同志问我学文科能不能听懂，我们看看文科怎么创造出数学物理的。这女孩1882年出生，大学学外语法语、英语，毕业以后本要到中学当老师的，可是分配工作的时候不甘心当一位老师，跟她父亲说我还是喜欢数学，她爸爸本身是大学的数学教授，她说既然女儿愿意学数学，那就学。6年以后就到了1918年，这位女士给了我们划时代的数学成果，后来被称为近世代数之父。这个地方叫做抽象空间对称性，抽象空间对称性是什么东西？日常生活里面有，只是你不注意而已。

给大家看一只小虫子，很漂亮，叫做**“圣诞树虫”**，仔细看它是螺旋的，但是这两粒在一起的时候一定是相反方向旋的，你明显能够看到时空方面的对称性，一个是左旋一个是右旋。它有没有抽象空间对称性呢？有，颜色，赤橙黄绿…假如七种颜色，这就是七维空间对称性颜色。

可能有人认为颜色这个东西也是我们眼睛看到的，不算抽象对称性，但是某种意义上颜色就是抽象空间对称性，学量子物理的时候给夸克分类的时候用的就是颜色，还有量子色动力学。如果这个不算抽象空间对称性，那么还有一个抽象空间对称性，一它的很深，就是这对圣诞树虫一定是一公一母。知道如何描述它的时空对称性就是相对论，知道如何描述抽象空间相对论，那个就叫规范场论。

中国话里面规、范、模、具早就都有，它为什么在物理上重要呢？比如大家都熟悉的温标，对于温度你是可以给它不同的标度，但是不管标度怎么给，不可以违背物理定律，就是各种值高的东西，一定是往热量低的地方流，只要这个物理不错，你给出的温度标就都是合理的，这就是标度的问题，所以规、矩、模、范跟这些东西都有关系。原来说买钱不买范，这是做钱的范，是国家的，不能弄一套在家藏着。但是学物理的正好相反，是买范不买钱，因为你买钱各种各样现象太多了，但是理解它的范，理解理论最深的骨架，这叫学物理。

规范场论中的重要意义

什么叫****规范自由度？做微分的时候知道，一个积分结果等于某个函数，但要加一个常数，这个常数不影响这个方程，这个叫做规范自由度。经典力学里面Euler-Lagrange方程，随便加上一个函数对于时间的微分，也都不影响这个方程。这是大家都熟悉的一个事实，可是又有人想，既然这个东西有这样一个自由度，随便加上这个函数，方程自由度都不变。那么反过来想，某一个东西随便加上什么样的函数不变的，对它意味着什么？这就是规范场思想，意思是当你享受某种自由的时候，其实它同时意味着某种限制？这就是规范场论最核心的思想。大家工作的时候，如果领导说由你全权处理，充分自由，你千万别把它理解为充分自由，这个特殊的自由就意味着特殊的约束，这就是规范场论深刻的思想。大家一定要记住这个反向思维，而特殊的自由必然是意味着特殊的要求。

举个简单的例子，比如硬币正反面，哪个叫正面，哪个叫反面？没有关系，约定好了大家都认可就可以了。但是我们一般认为它的约定规定1是正面，2是反面的话，换一个地方它还是1是正面、2是反面。规范自由度可以是局域自由度，就是这两个硬币规定1是正面，另外一个地方可以规定2是正面，这个也不影响物理，这个就叫做规范自由度的局域自由度，也就是我们说的十里不同俗，你们这个村规定一定是正面，我们村一定规定是背面，但是都不影响经济、不影响花钱，这是规范自由度，这个自由度一些年龄大的人很能理解，就是当年的地方粮票，每个省每个市都发自己的粮票，你的粮票允不允买细粮都是各地方规定，你的规定不影响我的。

**规范自由度有哪些呢？**有一个简单的例子就是圆柱，绕它的轴整体转一个角度的话，不管转多少角度它还是那个圆柱。但是设想你把圆柱切成不同的薄层，每个薄层随便转成不同的角度看起来也还是圆柱，这个转动的角度是局域的，选多少度跟别的地方没有关系。对于球壳也是一样的，球壳可以有两个独立的角，转过来还是球壳，把球体分成不同的球壳，不同的球壳独立转过来两个角这还是一个球，这就是规范自由度，从这个角度去看，我们可以发现电磁理论正是有这样一个规范自由度的。

对规范自由度来讲，如果你对它加一个规范后，它就能针对特定的规范有一个特定的形式，所以既然有这个规范自由度，我们就要充分利用这个自由度，加规范看变成什么样子，变成不同样子的方程。但是它的样子不一样就能看到不同的物理，比如我们的电磁学方程组，当你选择Lorenz规范的时候，它有一个自由度，你现在用它限制自由度的时候，方程就变成了琴弦震动的方程，于是人们猜测电磁这个现象能够产生电磁波？既然电磁波在这个地方对应速度，这个速度算出来以后发现和光速差不多，难道电磁波是光？光速有两个不同的参数计算，它没有参照系，这是狭义相对论最基本的原理。公式的变化具体过程可能一天都介绍不完，大家知道电磁学是规范的理论就行了。

我们知道引力是规范理论，引力的规范在哪呢？就在于空间是由能量、动量、张量决定的，但是能量、动量守恒对应的是平移部分，而时空真正的对称群大的很，说明这里有大量的自由度。同时间，微分几何还有另外一条路径的发展，微分几何另外一条路径发展来自于一个非常重要的人，叫Tullio

Levi-Civita。为什么要讲这个人呢？当年爱因斯坦要发展广义相对论的时候，最终决定要用数学。而爱因斯坦正是找他教学了意大利语，爱因斯坦创立完广义相对论，他从微分几何的重要奠基人，成为广义相对论的重要专家。我为什么说这些呢？尤其是做学问的，不管这个世界上谁需要你帮助，请大家记住一定要去帮助别人，帮助别人的过程是你在做事情的过程，收获的不是那个人的感谢，是你做这个事情过程当中的所得。

但是这一点要跟大家强调清楚，关于引力的微积分方程，𝑑𝑠2 = 𝑔𝜇𝜈𝑑𝑥𝜇𝑑𝑥𝜈里你看这个表达式，和刚才学的一元二次方程方程结构是一样的，是x=c1，与bx=c2这两个东西怎么融合在一起的问题。而引力与电磁场的规范场论，与解决把这两个东西加到一起的问题，本质上是一样的，差别在一个是微分的，一个是实数的。

所以有人尝试将矢量平移和内积的表示方式进行联络，对应不变量正好是电磁学方程，所以带来一个重要的认识，电磁学不是独立现象，是引力伴随现象，就是苹果掉到地上，砸到头，这是引力现象，而摩擦生电，或者电火花发光，这些电磁现象竟然是引力的伴随现象。

所以，在1918年发表的一篇文章，里面第一次使用了“规范”的概念。我再提醒大家，规范与校准、校验、定标，这些词都是联系在一起使用。也就是要给这个称上加定盘心，告诉你这个地方的读数该是多少。这个标准的秤锤，但是秤钩有两套，所以上边表示几斤的标度也有两套，而且最重要的从这儿一定是越来越细，不能是等粗，而秤心也不是等间距的，这里面涉及的学问就是物理学最深刻的学问，请大家千万不要小看物理量校准与测量，这才是最深刻的学问。

我认为，说得清楚中国杠杆的原理，你就懂得物理的一半。给我们创造数学与物理的大神都在哪儿工作，看看庞加莱，他是数学全才，但他是铁路工程师，在法国的长度标准局。爱因斯坦给我们带来广义相对论、相对相对论，爱因斯坦在哪儿工作呢？他在瑞士伯尔尼专利局，为什么审专利能够做出相对论呢？因为那时候最重要的就是钟表校准的问题，而爱因斯坦就是考虑火车上的钟表与火车站的钟表，如何校准的问题，得出一个微分方程，这个微分方程的解就是电磁学的规范变换、洛仑兹变换，这是爱因斯坦成名的原因。而我们所谓的科普书里面永远不会说到这一点，你为什么不知道爱因斯坦的伟大，光看科普书，永远不知道为什么不知道一流科学家会接受专利局职员的工作。

再看，你不知道巴黎长度标准局到底有多大的意义，请看这一套东西，这是北斗系统，请问巴黎长度标准局与北斗系统有什么关系？北斗系统最上边最值钱的原子喷泉钟，原子喷泉钟的概念来自于巴黎长度标准局，你学会了原子喷泉钟，而人家这个地方产生概念，这就是我们科技要追赶的距离。

外尔将规范理论整理成一篇文章，有电磁场的时候从一点挪到另一点，长度有变化，这篇文章是爱因斯坦审稿，爱因斯坦说这个理论是不对的。为什么？如果这个理论对的话，原子性质就依赖于它经过的路径，原子波长是不同的，那么过两天原子就变的不一样。但是我们的世界不是这样的，原子是稳定的，原子波长是定的。爱因斯坦的审稿意见最后是：但是这篇文章的深度和理性是我们每个人都要充满敬意看待的，这审稿意见多么高情商。

可是，大家想象一下，像这么好的理论难道没用吗？谁来拯救他呢？拿什么拯救？后来这样的一个理论就被薛定谔、伦敦他们这些人拯救了。拿什么拯救呢？老量子力学与新量子力学。

第一个拯救的人是薛定谔。薛定谔是奥地利维也纳大学教授，当时在瑞士访问，这么好的理论哪能无视呢？他从外尔能量量子化的概念，发现外尔表达式有道理，他说很难相信这个量子化条件是偶然结果，而没有深刻的意义，他提出了修改因子γ的建议。1926年，得出来了量子力学基本方程，也就是“薛定谔方程”。

他写出量子力学方程，怎么证明对呢？要举一个例子，用来解氢原子的方程，一般的量子力学书都会告诉这个解是什么，大家看这个解算复杂吧。我当年学量子力学的时候背这个公式，有一天我看了原文发现，薛定谔虽然是维也纳数学物理教授，他也不会解。谁解的呢？就是刚才的规范场的人帮他解的。恰恰我们会发现就是薛定谔这两个方程救了他的理论，所以请大家记住帮同台僚就是帮自己，帮别人不是让别人付钱说谢谢，同事有一个值得帮的机会，帮的过程当中自己的提高与获得，那是你的收获。这个方程出来之后，当年，一个俄国人说，我们现在有薛定谔的方程，把薛定谔方程与电磁学规范场论放在一起，不就有电子与量子力学的电磁场理论了吗，这就是规范场论了。

一个叫Fritz London的人明确指出相因子的概念，路径不可积分，但是在每一点的规范尺度是唯一的。这使得外尔的理论包含了通往波动力学的逻辑之路。不可积因子同电磁理论联系没有问题，但是不能当作时空的尺度因子，而应该是当做波动力学的相因子。

外尔电磁学与引力的规范场论

规范场论不再往下讲了，接下来介绍更重要的：外尔电磁学与引力的规范场论，1929年外尔又写了一篇长论文，Pauli先是讽刺，但是看他到写的长论文的时候，发现外尔写的非常有道理。Pauli理解了外尔思想之后，1933年在物理学手册上把论文表述很清楚，表述清楚到什么程度呢？清楚到不仔细的人，以为这个理论是他的。但是没事，这是规范场论，我们之前就知道引力是规范场论，这些东西虽然很神奇，没有带出新东西，新东西还在酝酿中，是什么呢？就是关于原子核里面的作用，原子核里面有质子中子，它们为什么待在一起呢？Pauli的同门海森堡提出了别的对称性，比如说同位旋，同位旋角度下看质子中子有对称性，是同一个矢量的两个分量等等。

我们用这些思想看原子核的话，会发现特别有趣的现象，刚才说同种正电荷靠的近，是强相互作用造成的。原子核里面有质子中子，质子、中子可能会跑出来，比如产生α粒子，这很好理解。可是从里面还跑出电子，电子哪儿来的，原子核里没有电子。这说明什么？质子中子电子有弱的相互作用。这里面还跑出光子，里面没有光，光的过程一定是在哪个过程产生的，因为光是电磁波，所以这个地方可能有电磁相互作用，所以我们可以判断原子核这么小的地方里面有强相互作用、弱相互作用，有电磁相互作用，我们相信一定有某种原因使得这些作用同时存在。

这中间有一个叫Oscar Klein的人，用五维空间的东西，把这套理论都发展起来，1938年，他用法语发表了文章，因此很少人知道他的研究。

接下来我给大家讲讲安徽省，有人老说江苏省是散装省，安徽倒不是散装省，分三块，通过淮河和长江的沿线划分，这三块是三个文化区。中国第一本物理书是明朝的方以智写的，家是安徽桐城。安徽凤阳有个人叫杨克纯，他在安徽淮阳县当中学老师，1922年他的长子在振宁出生，因为在振宁出生，所以叫杨振宁，1945年杨振宁到美国芝加哥大学攻读物理博士。1938年的时候，杨振宁先生在昆明读中学，他的父亲建议他阅读1937年出版的“有限群理论”，这个有限群理论将来出现在外尔的对称性书里面，1954年杨振宁先生的成名之作“规范场论”就是外尔的理论。我看这样的东西，总相信冥冥之中某些人的成就是前面安排好的。

谈论这个我不得啰嗦一句，什么样的人是著名科学家的问题，能把自己的姓进入到科学里面的。比如说，你的姓和某个理论、方程、概念绑定了，什么爱因斯坦相对论、诺德定律、欧拉方程、狄拉克矩阵、外尔旋量这是一类。第二类是你的姓被改造成了形容词，或者形容词做名词，比如说牛顿改成Newtonian，Lagrange改成Lagrangian，Laplace是Laplacian，Hamilton是Hamiltonian。杨振宁也被改成Yangian。还有最高水平是姓被改造了好，并且有小写来代替，比如Abel到abelian，用a来代表。杨先生的工作是什么呢？杨先生关于规范场论的工作体现主要是其在1954年、1974、1975年的工作，1974年的文章是最清楚的。具体的工作都列在下面。

杨振宁在做报告的时候，Pauli坐在最前排，我们都知道Pauli被称为物理学的鞭子，谁做报告都不客气。杨先生做报告的时候，Pauli说同位旋粒子质量问题如何解决呢？杨振宁先生说这个问题太难了，我们考虑了，没解决。Pauli说这算什么借口，但第二天他就明白了，对杨振宁先生的工作非常认可，第二天Pauli建议杨振宁先生看薛定谔的1932年的文章，薛定谔1932年正式把相对论与狄拉克电子结合在一起，写了很了不起的文章。课本中只讲薛定谔方程，这其实不够全面，在整个物理学史上还有很多重要的人。

后来规范场论谁的表述最好呢，是同时期的哈佛大学学生肖恩，在1954年他的博士论文中将规范场论论述的特别好，最简单的指数函数，把变量扩展成矩阵，扩展成2*3矩阵，扩展成2*2矩阵，该是什么？这是Shaw的博士论文研究的内容。还有一个没太被注意的日本人，叫内山菱友，他1954年到了普利斯顿研究所，注意到杨振宁先生的工作，才知道自己的工作多么重要，所以赶紧又写了论文，并引了杨振宁先生的论文，文章在1956年发表，人们都认为他的工作比杨先生晚了很多。但是其实内山的工作由简单的李群推广到广义李群的情形，构造了广义规范理论，而且条理特别清楚，我建议读专业理论的博士，一定要读内山菱友的这篇论文。由于这篇论文是用日语发表的。因此知名度很低，内山菱友的照片都很难找，但是他是特别了不起的日本物理教育家。

四种基本相互作用，强、弱、电磁、引力相互作用，规范场论都适用，而强相互作用、弱相互作用、电磁相互作用它的对应的群，SU（3）、SU（2）、SU（1）都差不多，所以它们统一比较方便，而引力虽然也是规范场论，但是它的规范比较复杂，是庞加莱群。到目前为止还没有引力和其他三种相互作用的统一，统一就是关于粒子的标准模型，什么叫做统一呢？就是一个规范群中一个场是不同的粒子场的不同分量，这是非常了不起的理论。

由物理学发展产生的启发

这个地方给大家提一个非常重要的事情，学问构成很重要的就是扩展。有学问，要有能力在平面扩展，以及更深层次的扩展，和往下深挖扩展。对于新的知识接受不是自然而然的接受，很多时候是不得已，摁着牛头喝水才接受。今天讲的这些事情，从物理说到实处，以至于引到一元二次方程、狭义相对论，在此过程中都对新的知识都不是自然而然的接受，而是把路走到这个地方不得已接受。谈到工作的时候，我特别想说，刚才我们说了虽然有些地方升教授强调独立工作，但是真正创造过程中，真正层次上互相有帮助启发的合作是非常重要的。

关于我过去三年里面讲的量子力学、相对论和规范场论，我请大家记住它产生于瑞士同一个小镇子，苏黎士，这个小镇上聚集着外尔、爱因斯坦、薛定谔，这三个人都是同时对规范场论、量子力学有贡献的人，薛定谔当时在苏黎士大学。爱因斯坦毕业于Eidgenosse，外尔在这所大学里面工作，今天随便把这所大学翻译成瑞士联邦理工就不能理解这个学校的意思，这个学校开头叫Eidgenosse，就是汉语中志同道合的人，这个学校名字会让你有所感触。这三个人他们在一起，凑到一起带给我们这么深刻的理论，也意味着他们是“同志”。这个时期在这个学校工作的，还有闵可夫斯基，他对于相对论发展也很重要。

写到这儿的时候我特别感慨，什么是天才，天才不过是受到合格教育的正常人而已，包括在座各位，包括线上那么多同志。非常抱歉和可惜的是我们都没有受到正常教育。第一个，科学巨擘的成长需要什么条件？第一，生来是那块料子。第二，他碰巧生在有教养的人家，比如杨振宁先生，父亲就是美国芝加哥大学数学博士，后来送了他去美国芝加哥大学读物理博士。第三个是长在有文化底蕴的地方。第四，年轻时要上算的上大学的大学。最后一条就是成年后身边有几个可以相互砥砺的杰出的朋友同侪，一个人在成长过程中，凑齐了这几条可以说以后前途不可限量。

德国一个小镇叫哥廷恩，哥廷恩有这么一句话，说哥廷恩之外没有生活。哥廷恩大学厉害到什么程度？高斯、韦伯、黎曼、狄里希利、希尔伯特、克莱因、闵可夫斯基、诺特、外尔等，这些都是这个地方的。我们都知道黎曼只活了40岁，做了15年数学，有一种评价，在19世纪，黎曼一个人做的数学占当时数学界一半的贡献。而且黎曼是学文科的，他到19岁的时候还弄不清楚自己要学语言还是神学，结果在大学里面遇到了高斯老师，老师说你应该去学数学，于是他到柏林大学去学数学。这就是一个好大学最重要的标配，就是大学里面要有巨擘，不是你成为那个老师的学生，而是你在校园里面能够遇到他，能够赶上他，能有那种崇高的理念，这就足够了。

许多人读物理，为什么一直读的不对？就是数学学的不对，经典电磁力学、电动力学、数学基本都是那三个人创造的，这三个人中，Hermann

Grabmann是德国中学老师，又是学文科的语言学家，他创造了内机、外机这些概念。再说Clifford，Clifford享年只有34岁，但是Clifford代数以及整个相对论思想，包括引力是物质产生的，而物质不过是弯曲空间里面的涟漪，以及引力是以弯曲的波的形式传播这些话都出现在Clifford的书里面。在赶海捡贝壳时，由于落潮的时候整个沙滩上都是起伏的，判断不出哪个地方有东西，所以先用工具让沙滩平变，但是我们说物质附近的空间是弯曲的，引力是弯曲波形式，所以捋平的时候，发现有些地方无法弄平，那个地方就是有物质的，有东西的。这是日常生活中简单的智慧，但是蕴含了最深刻的道理。

请大家注意，在学相对论、规范场论这种东西时，一开始是很难，但是你学着学着慢慢感觉到它有道理，而且很深刻，就可以为你带来喜悦，大概就能学下去了，这也是我学它的经验。

关于经典力学、方程，请大家一定要读这些经典，关于规范场论写的最好的就是规范场论**《黎明》**的一本书，我学习过程中，从一元二次方程到规范场论，我都会在一本小册子里面记笔记。再提醒大家，如果读书都读那些自己也不懂的人写的书，你会越读越孤独的。所以读书有一个窍门，当你读一个东西读不懂的时候，最正确的做法不是书读千遍其意自现，是把这本书扔了换一本，因为总有一个人能够把这个问题讲明白，换一本书，而不是在那个地方死扣，因为那个人你看不明白，道理再讲也会不明白。

这就是我给大家的建议，要读厚重的书，学深刻的知识，做从前不会的事情。有一句话在欧洲哲学里面被浓缩成：“No time to be brief”，这句话特别难翻译，就是你有时间干琐碎的事情，但是没有时间干精简的事情，我也尝试着翻译为**“人生再难，不可以草草地、匆匆地辜负”**。

结语

经过三年，我们把理论物理三座大山，规范场论、相对论、量子力学，都介绍过了。但是这些学问其实论难度、内涵思想都远远赶不上经典的物理，经典的物理才是思想最多的，是数学物理创造的东西，经典物理是地基性的东西，其他是顶层建筑式的东西，所以真正的学问应该在经典。如果有机会，我们把经典力学、热力学、电磁学、电动力学人这些知识一点一点从平地建立起来。电动力学是我一直很害怕的东西，它里面的内容太深了。这也是为什么在过去三年里面没有讨论它的问题。

给大家看一张图，问“毛驴拉磨”为什么要蒙眼睛？如果大家学过广义相对论就知道，在这样的空间里面，圆才是最短的，圆是直线，所以给毛驴蒙上眼睛，就是让毛驴正确的理解认识到圆也是直线。所以我今天讲的这些东西，大家觉得太难了，不懂，怎么接受它呢？就是把眼睛一蒙，世界就好理解了。你要有这种态度。学数学、学物理要用什么呢？要用你的内眼看它，有两个大神，一个是Euler，后来眼睛几乎看不见了，一个是大神庞加莱，他一辈子眼神都不好，眼神不好的人有内眼，有计算能力，躺在床上，可以在脑子里面把论文推导出来，这恰恰是其他人做不来的事情。

我这个讲座之所以讲那么深刻的东西，不是说能够让年轻人都看懂，因为我自己也不懂，我自己不懂也不能完全讲懂，但是我希望你们听说过。我特别希望有一天在这片土地上成长起来的，从小愿意学习深刻学问的少年，也能够像杨振宁先生，像今年95岁的李政道先生一样，为人类的数学和物理做出不可磨灭的贡献。

你们听说过这首歌吧？《Santa Lucia》，我嗓子不会唱歌，但是给大家稍微哼一下，这首歌是专门到诺贝尔奖获奖者房间里面唱的意大利民歌，我希望这首歌将来能够派得上用场，希望年轻一代有人得诺贝尔奖。

感谢大家的捧场。谢谢大家！