曹则贤：从一元二次方程到规范场论 | 中国科学院2022跨年科学演讲(上）_风闻

2021年12月29日-31日，由中国科学院科学传播局主办，中国科学院物理研究所、抖音承办的**“复兴路上的科学力量——中国科学院2022跨年科学演讲”**在北京举行。

12月31日晚19:30，中科院物理所曹则贤研究员现场开讲《从一元二次方程到规范场论》，央视创造传媒艺术副总监王雪纯受邀担任现场主持。

点击下方链接可下载曹老师演讲的PPT：

https://bytedance.feishu.cn/docs/doccnvNNYumJ2uAKjlBM8B3AeOd

（以下内容根据现场速记内容整理，时间仓促，未经主讲人审核，内容难免有误；部分公式受限于微信编辑器，格式可能有不规范之处，敬请谅解）

尊敬的各位朋友，在讲完了相对论与量子力学之后，我想说我们应该进阶去讲规范场论，但是去年透露这样的一个题目的时候有人说不行，太难了，能不能讲点简单的。

**但是我一想，其实我们学过所有的数学与物理的领域，我实在没想出哪个是简单的，如果大家真认为简单，可能大家误以为小学学过的加减乘除那个简单，我负责任地告诉大家这是一个误解。**加法你说学会了，我告诉大家门都没有；我提醒大家一句，乘法在1844年格拉斯曼《扩展的学问》这本书里面，提供了16种不同的乘法。我不知道许多人听过过吗，乘法有这么多种乘法？所以加减乘除要排除，实在太难了。

所以，如果要挑一个简单的一元二次方程，大家可以看一下题目下面的洋文——“De Equazione Algebrica zur Eichtheorie”前半段是意大利语，后半段是德语，因为一元二次方程后边发展出来的一元三次方程、一元四次方程，都是发生在意大利那个地方，规范场论是来自说德语的地方，就是德国、瑞士与奥地利。我提醒大家注意一下，我们学的物理里面，流体力学、规范场论等产自于一个很小的国家，这个国家叫瑞士，待会儿会给大家讲细节。

今天这样的讲座，希望花2-3小时时间给大家理清楚从一元二次方程，大家误以为是最基础的地方，如何一路走到规范场论理论物理的天花板。这样安排我的讲座，确实受到我的朋友们的批评，说我讲座的题目特别不友好，为什么我这么不友好呢？我觉得因为**我们现在处于一个技术超越神话的时代，而且这也是一个科学已经深入人心的时代。**今天的我们尤其我看现在十几岁二十岁的年轻朋友们，我觉得再也不能像我这代人读小学、读中学，读到大学，突然有一天明白自己什么也没学着，这个不可以再有了，我希望我们现在的青少年朋友们，能够早早地接触到真正的学问，接触到深刻的学问。

我非常高兴的看到，在我们的国家今天进入到一个科学深入人心的时代。

今天一个刚上学的小朋友都知道不会科学要被人欺负，今天国家发展过程当中更知道没有掌握最顶尖技术，没有掌握顶尖技术下面深厚的数学物理知识，我们可能要被人欺负的。所以今天我们应该好好学科学。

**提及学科学的时候提醒大家请当真，学习科学的细节、思想、方法、体系，学科学如何构建、如何批判、如何表述，**这个过程当中我们可能也要学科学家，我们学科学家什么呢？我们应该学科学家是如何学习与创造的，说句大白话，就是今天真要学习的话，吃鸡腿，不要喝鸡汤。

近代科学发展我们都知道它的基础是数学的语言，这一点在我们数学书里面有一个不太提及的人，是意大利人斐波那契(Fibonacci)。他是一个商人孩子，他在1202年的时候把印度阿拉伯人创造的一套字母，就是0123456，我们现在都管它叫阿拉伯数字，这套阿拉伯数字再加上西方的拉丁字母和希腊字母，这三套加在一起就是今天自然科学的语言。

所以我提醒我们的中小学教育的时候一定要把这三个基本语言教清楚，不管是纯数学的欧拉公式，这是被誉为人类最美的公式，没有之一，或者库伦公式，元素都是包括阿拉伯数字、拉丁语字母、希腊字母，这些西方科学在明朝、清朝都传入我国，我们曾经试图用汉语写它，大家如果见过用汉语写矩阵组乘法的时候就知道，写了一页你根本不知道这一页是什么东西，极大的阻碍了科学的传播。今天我们人民一定要有一个特别开放的心态，要把所有人类知识都当做自己的。

刚才说的是最开始的，我们很快要学到最高深的，这里面我一定要提及一位非常受人尊敬的先生，刚过了虚岁诞辰一百周岁。很多人在短视频中都说杨先生最引以为傲的成绩不是1953年获得诺贝尔奖的宇称不守恒，而是1954年的Yang-Mills，这是第一个非阿贝尔规范场论第一篇，什么意思？我待会会讲。我想说的一句话是什么呢？我认为我们对这些科学巨擘如果要想表达稍具一点诚意尊敬的话，请去弄懂他到底做了什么，我相信如果你乐意的话其实是可以做到的。

所以今天我的报告内容大概就是有这些内容，先聊两句闲话，从一元二次方程开始，接下来是一元三次方程、一元四次方程，到一元五次方程的时候发现不可解了，发现不可解去理解这样一个不可解就会引出很多学问。

**解到一元三次方程就会引进虚数，虚数就有人把它扩展成复数，就是二元数，将来就有人扩展成四元数、八元数，这是数字体系的框架发展。一元五次方程不可解得出一个学问，这个学问叫做群论，有了群论，有了四元数和复数表达，终于有一天我们会发展出规范场****论，**说从最基础的一元二次方程到这个地方逻辑的链条或者逻辑的台阶，我会给大家讲清楚。

一句话，我们注意到中小学老师经常会教孩子们说记住知识点，但是知识点如果都是散点的话，是记不住的，知识就像蚂蚱，你得把它串成串就好记了。有一个人说我听不懂，不知道线上朋友是不是有时候三两句听不懂转头就走了，我想说不要担心，请你一定要坚持听完，我都坚持站着讲三个小时，你还不能坚持躺着刷三个小时的手机吗？所以请大家耐心一点，我不敢保证这里的内容你能够听懂，但是我一定努力让你今天听到的东西会对你有启发。这个讲座是人类里面最顶尖的向思想者致敬之旅，内容听不懂没有关系。

还是回答主持人问的问题，为什么老讲不太友好的课题，为什么讲那么难的数学和物理？这是因为我自己上了快50年的学，我深切感觉到我们应该学一些数学和物理，以及我们作为一个受人尊重的民族，应该努力为人类贡献一点数学和物理。关于这样一个问题，我们建国领袖毛主席1942年在延安文艺座谈会上讲话说的很清楚了，中国人要对世界文明做出自己应有的贡献。

数学和物理的历史我个人认为主要是由一些天才的头脑创造的，在中国有14亿人口基数，青少年2亿左右，他们中间一定不缺乏特别有天分的青少年。我特别想提醒他们，作为一个很有头脑的青少年尤其是天才，没有创造，天才是不可原谅的，所以我提醒有天分的青少年朋友们，不要浪费你们的天分。

哪些天才呢？大家学这项人物，比如近代科学之父、物理之父伽利略，牛顿大家都知道，这是科学大神瑞士人欧拉。

关于数学，数学该学到什么程度呢？或者什么样的人是数学家呢？**数学界非常有趣有一个判据，说一个人他如果睡着了，你上去咣当踢他一脚把他弄醒了，问庞加莱引理是什么，他如果说不上来一定不是数学家，他如果说上来，那也不一定是数学家。**但是这是一个必要条件，就是一个人睡梦中被踢醒了一定要知道什么是庞加莱引理。

关于物理学家，数学家是物理学家的语言，物理学家是用方程唱歌的人。

回顾一下我们上大学学过所谓的那些物理，其实都总结到这些公式里面了，比如这是简单的牛顿第二定律，力学下一步发展就到这个方程，叫做欧拉-拉格朗日方程，再往上到哈密顿-雅可比方程，这样的方程把它改造一下，求波动解的话就会得出量子力学方程。这是电磁学方程，电磁学和量子力学结合将来就会有电动力学。这是第一次工业革命最根本的公式，这叫热力学主方程。理解了这样一个公式才能理解人类第一次工业革命。

从一元二次方程到规范场论，如果大家没有耐心听的话，只要看这张图就能理解它说的什么。

从一元二次方程到二次、三次、五次方程这是解方程，解三次方程就会解不下去，就会让你们不得不引入虚数和复数，然后就有了复变函数。接下来就有四元数、八元数，这是数学发展。五次方程不可解就会得出群论，这些数学准备好了以后学物理就简单了，所谓量子力学会用到群论和四元数，学电动力学要用这里面的矢量分析和四元数。

这里有一个东西叫做微分几何，微分几何和群论学好了以后学相对论就简单了，群论、微分几何、电动力学、量子力学都学会了以后你学规范场论就齐了，这中间逻辑关系是非常清楚的。我再强调一遍，我们之所以当年在大学读研究生读这些课读不懂，是因为他相应需要的数学物理基础都没有教，我们课本有一个特别不好的印象，给人一种误解，就是那一门学问只是这些书本里面的内容，其实不是。

一元二次方程概述

从一元二次方程到规范场论里面到底有哪些内容呢？**大家比较熟悉的一元二次方程，它其实是一个平方项和线性项这两个怎么凑到一起的问题，是二次和一次型怎么加的问题，所以最难理解的问题恰恰是加法，**现在你知道做到加法不容易了吧。接下来当有复数的时候，你会发现复数不光是我们学的a+bi，复数可以有七八种不同的表示，这些表示包括四元数都有不同表示，运算法则和表示就出来了。

当我们用群的语言讨论一个代数方程为什么不可解的这套语言的时候，这个地方涉及到结构和表示，等我们学规范场论的时候发现这不过是微分二次型和一次型，和如何解一元二次方程是一回事，结构上是相同的，这就提示我们学数学、物理不是课堂做几加几，你需要学的是最重要的法则、结构、表示，这些才是数学最威猛的地方，也是让你理解物理和发展出物理的地方。

今天学两个关键词：

第一个词儿叫置换，这个可能比较简单，如果大家喜欢打牌的话，拿一手牌换一种放法，这就叫置换。置换是今天的主题，比方说这是123456，你把1换成4，2换成3，3换成2，4换成5…得出123456另外一种排列方式，这是置换比较好理解。

第二个要学习交替，交替特别重要，这是三维空间里面的多边形，关于多边形有一个欧拉定理，顶点数V减去边数E，加上面数F，减去体数S，体数S始终等于1，所以这个公式应该是V-E+F=2，其实我把它写成V-E+F-S=1。

大家看这个地方涉及到的不是减号，还是加号，只是加上一个负的东西，前面的符号是加减始终交替出现，交替这个东西非常重要，而这个地方作为几何对象，几何对象没有顶点数减边数，这个负号是告诉你几何对象有取向。大家想想如果绕着小公园遛一圈，你当时就明确路径有取向，可以顺时针绕，也可以逆时针绕。学几何的时候，几何里面从来没有教大家几何有取向。

明白这个道理的时候现在开始学方程，许多人以为会，让我们看会到哪。一般的一元二次方程写ax2+bx+c=0，这里a、b、c可以是整数，如果不要求a、b、c是整数，其实就应该是这样一个方程，x2+bx+c=0，也就是说这里参数只有b、c两个。

老师教大家配平方就能够得出两个根：

根号下得出b2-4c这一项，如果b2-4c大于0，开根号，就得出两个根；如果b2-4c小于0，我们叫方程无解，就是它不合理，或者说我不懂我不知道该怎么办。这时候许多人会误以为说b2-4c根号下是负的，可以利用：

我们在中学里面学过，老师教过，我想说的是你想多了，人们解一元二次方程的时候遇到根号下是负的，因为不了解，不了解哪个数平方等于负，所以说直接取无解，这是最合理的做法。

这个地方你会注意到什么呢？注意到这个地方有b2-4c，它是判别式，它到底是什么意思？我们不解具体方程，把求的方程两个根，x1，2要表示成x1+x2和(x1+x2)2-4 x1x2，这是什么意思？在解这之前，大家肯定觉得这个方程太简单了，老师也给出解法了。

我现在告诉你，事情没有那么简单，不仅关于这个方程一般理论一元二次方程你还没有学，就是特殊的挑几个例子，这几个数学你大概都没有学过，解x2-x-1=0的方程，这个方程的根等于：

这个数就是黄金分割数，它和10次转动有关。

x2-2x-1，它的根：

这是白银分割数，和8次转动有关系。而x2-4x+1=0，它的根：

是白金分割数，和12次转动有关。而人生活的三维物理空间允许准晶的转动就是18、12次。

随便挑出一个黄金分割数能够有多少内容呢？关于黄金分割数我知道的至少有三本专业的杂志，关于这一个数就有专门三本数学杂志，最早的Fibonacci季刊专门发表有关黄金分割数的内容，这个杂志已经发行了一百多年了，请同学们再想想，你还敢说你会吗？这本杂志你随便看哪页都不懂，而这仅是关于特殊的一元二次方程一个根的故事。

现在深入研究一下一元二次方程，把一元二次方程改成x2-bx+c=0，为什么这么改呢？这是因为这么改的时候x、b和c都可以理解成长度，就可以用几何法研究这个方程了。

我们用几何法研究方程如上图所示，做一个直径是b的圆，从底下点A做一个切线段，切线段长度是c，如果b2-4c>0，就是说c比较短，从c的另一端做一个垂线RT的时候，与圆有两个交点，这就是我们常说的方程有两个根。

如果c再大一点，使得b2-4c=0，垂线RT与圆相切，只有一个接触点，这个方程只有一个根。这个地方又遇着了数学书里面一个错误概念，当b2-4c=0的时候，是这个线刚刚搭上去，只有一个交点，汉语把它翻译成相切，不对，这不叫切，这是刚摸着、碰着，而不是切，这就是我们为什么老学不会的问题，这是一个错误的概念。

现在回到刚才提到的b2-4c<0的时候是什么样的，说明c比较长，从这里做垂线不与圆相交，刚才说b2-4c<0没意义，好像有意义了。有人肯定要说怎么错过去叫有意义呢？

我给你举一个英语课上的例子，什么是错过是有意义的。这是我们常见的表达，我想你。大家还记得英语i miss you，miss就是错过。不管是英语i miss you还是法语Tu me manques，是我错过你，我错过你才想你，错过是有意义的。所以这告诉我们b2-4c<0是有意义的，但是什么意义，别着急，我们等待接下来的讲解。

我们看研究x2+bx+c=0这个方程，你会注意到，如果一个方程有两个根的话，永远可以把方程写成**(x-x1)(x-x2****)=0的形式，这才是一元二次方程。那么这个方程的标准形式为x2-s1x+s2=0。**

你会发现这里的符号很有意思，就是+、-、+、-，交替出现了，请大家记住交替是重要的东西。由以上可知，x1+x2=s1，x1*x2=s2。我从 x1+x2和 x1* x2，就一定能得出 x1-x2。有了x1+x2和 x1-x2，就可以得出  x1、 x2各自的表达式。于是我们知道一个方程根 x1、 x2应该由它本身来表达——

请记住不是加减，是正负，代数方程里面没有减法，请同学们一定记住。

这个方程就很有意思了，很多人不明白这个道理，你看我求的方程是两个根，怎么用它本身来表达，你在绕我吗？不对，这个道理我是没弄明白，我发现金融界的人士就明白了，他们用明天可以挣到钱，在今天挣你的钱，这个哲学可重要了。

**用根自身来表示，这是一种哲学的转变，我用要被寻找的根来表示这个根。**如果大家再不明白这个道理的话，就是参照一下金融行业人员，他们一直都是这样干的，用他们明天才会拥有的钱，今天来挣你的钱，只有这样的话我们才能理解金融学，我们也才能理解什么是一元二次方程，这些东西没教，不着急，接下来往下说。

加法和乘法的兼容

x2+bx+c=0，到底是一个什么样的方程呢？其实我们注意到就是x2=c1、bx=c2这二者如何叠加和兼容的问题。大家可能会有疑问加法与乘法有什么兼容的问题？比如说数学里面最难的费马大定理，xn+yn=zn，这就是一个乘法与加法相融的问题。当n大于等于3的时候，你找不出整数x、y、z，使得这样的算式成立。也就是说当n大于等于3的时候，这里面的乘法加法不相容。所以一元二次方程重要的是乘法与加法怎么揉到一起去的问题。

既然这样的话，我们来看，我们来理解x2=c1这个问题，c1这个数只有两种可能，要么是正数，要么是负数。所以我们需要理解的是x2等于正负1的问题，你会发现x2=1好理解，x2=-1算是怎么回事？

**如果x2=-1存在的话，你会发现x2=1和x2=-1绝对是两个不联通的世界。**这两个世界是怎么回事？或者我们来看物理的看x2+bx+c=0这个方程是什么样，我把x理解成距离，x移动b/2，把它改造成x2=c1的问题。然后，两边同除c1的绝对值，就变成x2=1的问题。

所以，一元二次方程说到底就是要解x2=1的问题，也就是说一元二次方程所有的内容，是让你理解加法与乘法怎么凑到一起，当然x2=1你理解了，问题就剩下x2=-1是怎么回事。

一元三次方程

再看一元三次方程，物理情景很少有，将来大家上到大学物理的时候会求矩阵本征值。比如说发动机怎么转动的，转动惯量问题会有这样的方程，这是一元三次方程。或者说学实际气体的状态方程——Van der Waals方程。

一元三次方程怎么解呢？书里面有这样的表达式：

公式不太好记，我特别反对写数学公式脑子里面没有物理图像，所以我始终记为：

因为这时候你就知道这里面的3、2来自于物理的维度或者量纲，是有物理意义的东西，而不是随便写27，27你觉得可以写成26，不对，他是3的3次方，而这个3是物理的维度。

这个方程怎么解呢？我们知道x3+px+q=0，也就是说有p、q两个自由参数。为什么题目一开始用意大利语呢？因为这些学问一开始都是意大利人先做的，一位意大利人Cardano给出这样的解法，假设我的方程解是：

将其代入方程，可以得出另一个方程：

我可以分别令：

消元可以得到：

这个方程是一元二次方程，而一元二次方程我是会解的。所以我只要解出一元二次方程，我就可以得出来一元三次方程的解。

这就是一般书上的一元三次方程根的表达式。我们仔细看一下根表达式里面就有故事了。第一，始终是根号套根号的表达；第二，表达式中1，ω，ω2是x3=1的根。你解一元三次的根要用到x3=1的东西，以及根号套根号，这是我们要记住的，里面包含的内容。

对于x3你会发现很有意思，刚才说x2=1很好理解，x2=-1是什么还不知道。但是你发现x3=1，与x3=-1，没有什么隔阂。因为你只要将x替换为-x，这两者就是一回事。所以x3=1和x3=-1，没带来什么困难，这好像是世界又值得留念了，但是不对，我们继续往下看。

如果设x=u+v也可以，还是这样的一套方法，就可以得出它的解。这个地方关键要把一元三次方程约化成一元二次方程，所以这个地方有一个关键词是“约化”，就是我们经常讲的你手里有一个问题或者有一个工程，先把它分解任务，先做成不同的单元，以及放到简单的层面上解决了，这就不解决了吗？

但是问题是这么约化都好使吗？你会发现不太好使，为什么呢？解一元三次方程的时候出事了。大家看解一元三次方程的时候，我们有公式，把具体方程的p、q带进去，经常会遇到根号下等于负，刚才说的解根号下是负的，不合理，不存在，扔了就完了。可是解一元三次方程遇到根号下是负的，麻烦了，为什么？我们不能扔下了。

我们看这个方程x3-15x-4=0，我们都知道，有一个根x=4，分明是有解的。可是将p、q的值代到表达式里面就变成了：

如果你说根号下是负的不合理，把它扔了，扔了就没有解了，可是你分明看到x=4。

这怎么办？憋了很久的时间，到了1572年的时候L’Algebra说实在没办法了，就接受它的存在，我们假设他是有意义的，到底什么意义，我们不知道，我们就假设它是有意义。我们闭着眼睛往下算，怎么算呢？

你会发现：

两项相加抵消后等于4，你看，根出来了。也就是说请大家记住了，我们接受根号下负数这个东西不是我们愿意接受，是它把我们逼得没办法了，万不得已我们才接受下面是负数的存在。

一元四次方程与一元五次方程

接下来有人去解一元四次方程，一元四次方程哪儿有呢？倒是航天部门经常遇到，你看椭圆轨道与双曲轨道，前两天大家知道空间站被人碰瓷了。两个轨道相交，始终有四个点，所以求双曲线的交点问题可以得到一元四次方程。

一元四次方程怎么解，就是硬配平方，假设两边都能配成平方的话，得到一元三次方程的条件，这好办了，一元三次方程我会解了。我解一元三次方程，回头就可以解一元四次方程，这样的话，我们大家都知道了一元二次方程、一元三次方程、一元四次方程都会解决。

人稍微有一点成就就怎么样，就膨胀，那人类一定会解五次。所以有人就去解五次方程，但是你如果稍微头脑清晰的话，你应该分析一下刚才的一元四次方程解是怎么行的。这儿出现一个大神Lagrange，他研究一元四次方程的时候发现，假设四个根，x1、x2、x3、x4，可以凑成这样的一个四个表达式，这是对称式：

而这个表达式，如果我们数学学的多，一定会和中国古人联系在一起，就是我们老祖宗杨辉三角，你发现这里面杨辉三角出现了。

我们知道了这样的一个对称表达式，如果我再用根组合成别的表达式：

这个方程就能够倒回来与这个方程距离系数c、d、e联系在一起，我就能解出s1，s2，s3，s4这四个数，与四个根是线性联系的，就可以得出来四个根。也就是说Lagrange从一个体系的角度，看清楚了四次方程为什么能解，以及这个方法到底是什么意思。

这个大神太厉害了，给我们留下了很多的书，比如说关于代数方程的思考，因为他发现代数方程里面的学问太大了，还有算术研究，还有分析力学请大家记住，这是大学物理系都要学的学问，分析力学又叫Lagrange力学，这本书太经典了，我曾经开玩笑发誓将来有空把它翻译出版了，穿着红色高跟鞋绕物理所跑一圈。

这本书实在是太经典了，为什么呢？从我们人类历史上从数学与物理角度来说，绝对是大神级的人物。而且也是牛顿之后唯一的一个白纸黑字表达出对牛顿不服气的人。他是这样说的，牛顿当然是最伟大的天才，但是人家也是最幸运的，为什么他是最幸运的？因为构造世界体系这件事情只能干一次。那意思就是如果当初牛顿不干的话，我也把它干出来的，多大点事情。这是白纸黑字有记录，对牛顿不服气的，这是唯一的一个人。

我们再看一眼一元四次方程的表达式，对称多样性的表达，你看它的符号，比如说表述成“-b+c”“-d+e”，又是正负、正负、负正、负正交替，始终与交替有关系，你用这样的一个四个根来凑别的帮助解的方程的时候，这种结构未来有群的结构。所以Lagrange的工作就是告诉我们，把解方程求方程根的过程变成对方程本身的认识，这是他最伟大的地方。

四次方程不管怎么着，反正是可以解，因为我现在不知道到底哪个场合会出现一元五次方程，所以我认为一元五次方程怎么解，肯定是人吃饱了撑的的结果。

努力去解的时候发现不对了，英国人有一个人叫Bring，有能力把一元五次方程的4次方、3次方、2次方项都消了，能表达成x5+px+q=0。你如果把x项都消了，这个解就有了，但是这一步根本过不去。

Euler发现方程写成x5-5px3+5p2x-q=0的形式的时候可以找出一个解，但同样也找不到通解。所以这个事情忙活了100多年的时候，人类有一天突然服气了，一元五次方程是不是没有解？差不多到18世纪末的时候，像法国人Vandermonde与Waring就怀疑了，一元五次方程没有解，或者没有看起来的通解。

Lagrange拣起这样的思想，才去写代数方程的书，才理解方程的结构，他认为方程可解不可解，找到某种方程根的置换不变的函数。你看这里面又隐含着一个思想，就是我们数学书里面从来没有告诉我们，当我们解一个方程，这个方程有几个不同的根，如果你不知道根等于几的时候，这些根之间都是等价的。比如说方程里面有一个根，一个是4，一个是3，许多人很容易误解4大于3，但是就这个方程本身来说，如果3、4都是这个方程的根，是一样的，是等价，我们没有这个思想。

你看Lagrange有这样的思想，就认识到代数方程的一般形式就是**(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0**,要从他的角度来理解到底有几项的时候这个是有解的。但是你要证明一个方程有解容易，找到一个解就行了，就像证明天鹅不都是白的，你要逮着一只黑的就行了，可是如果你要证明天鹅是白的，你不管逮出多少只天鹅，都不能证明天鹅是白的。所以证明这个方程也是，就是你证明它有解容易，只要搞出一个解就行了，但是证明无根式解就特别难了。

这个难从理论上研究，发现所有方程形式应该是，连乘的形式，你把它展开这就是Lagrange展开的形式，展开对象就有(-1)i的问题，i等于奇数的时候等于-1，i等于偶数的时候就等于+1，所以这就是为什么始终有正一负一交替的问题，这也是出现交替群要理解的原因。

这是一个未知数和根的差，如果把不同的根之间的差乘起来，再平方，这就是所谓的判别式，就是一元二次方程里面学到的两个根值差平方问题，所以把它扩展到一般情况下。扩展到一般情况下，Lagrange突然明白为什么五次方程不可解，为什么？他把一个可能的方程根和xn=1方程的根给做成这样一个组合：

把这个地方的根，x1、x2、x3互换，看互换以后有多少结果，他发现非常有意思，对于二次方程把2个根有两种互换得出一个值，也就是问题变简单了，这可以解。一元三次方程有3个根，有6种置换，但是只有两个值，就是3变成2了。一元四次方程，4个根有24种置换，但是只能得出3个值，所以也是简化了。

但是5次方程就麻烦了，5次方程5个根，有120种置换方式，结果得出24种值，事情变复杂了。这个提醒大家有一个非常重要的东西，就是所有的事情比方说某件事情牵扯到数量增加的时候，会逐渐变得复杂。

讲一个简单的例子，别人请客吃饭你去了，你去了没有问题，人家请你了，你说对不起今天还有一个朋友一起来，也想认识你，说能不能一起来，一般情况下也行，但是带两个朋友，人家咬牙忍了，但是带三个朋友四个朋友一定这事儿不行了。所以对于方程，二次行，三次行，四次行，到五次事情变复杂了，变复杂了就不能解了。

不可解理论与“群”的提出

所以有人开始研究它的不可解理论，1799年意大利人Ruffini写了516页的代数方程理论说不行，但是大家不理他，为什么？因为证明太长了，516页，审别人数学论文这是太苦的一件事情，没有人干。

1824年挪威人Niels Abel，大家记住这个名字，这个名字非常重要，证明五次代数方程通用根不存在，但是因为他太年轻，没有名气，被人家不得不要求将论文修改简单，最后这个论文才6页，中间就有缝隙，在生前也很难被认可。但是大家都知道了，今天我们有Abel -Ruffini定理，说基于五次以上的一般多元式方程没有根式解，不能表现成根式套根式的解。

真正解决这个问题的是谁解决的呢？是一个法国的数学家天才叫做伽罗华，他证明了一元五次方程没有解。但是大家看他有多惨，1830年解决这个问题，1832年去世，他这个论文提交法国科学院，被法国大科学家弄丢了，他去世14年的时候他的成果才有人帮他发表出来了。所以作为天才你们一定要有心理准备，要承受这样的命运。

伽罗华首次提出了“群”（Groupe）这个词儿的概念，并且利用“群”解决这个世界难题，但是“群”为了这个问题一经发明，它将来就不只限于这个问题，“群”将来会在整个数学领域、物理领域有它的作用。

这个理论出来以后，数学也好，物理也好，有时候就是一层窗户纸，重要的是捅破窗户纸的那个人，窗户纸一旦捅破了，这个理论就会迅速发展。1870年的时候一个法学数学家Camille Jordan就写出了这本很著名的书《论置换与代数方程》，后来欧洲数学家里面年纪轻轻有成就的基本都会读这本书，我甚至有一个建议，这本书一定要进到中学里面成为中学教材。

我们提到刚才的天才伽罗华，伽罗华1830年解决一元五次方程不可解的问题，请他看出生于哪一年，他出生于1811年，他引入“群”解决问题的时候才19岁，还没有考上大学呢，但是到1834年的时候小伙子因为某些事情要和别人决斗，决斗前一天晚上匆匆忙忙写了一堆乱纸，这是人类文化史上最重要的一页，一堆乱麻。

用他自己话说是他希望将来有人能够看懂，并且他请求他的弟弟，这些乱纸不要交给法国科学家，交给德国数学家，不要问他们我解的对不对，只要问他们我干的值得不值得。这小伙子给别人决斗，又不会决斗，结果在菜地里被人一下撂倒了，被伤了以后躺在菜地上，第二天早晨他弟弟才找到他。

除了请别人破解他的乱码，特别著名的就是“我没时间了”，当他弟弟把他送往医院的时候，他说了这句特别伤感的话，说弟弟你别哭，我在20岁上死去用尽了我所有的勇气，这是一个天才的陨落。

当然在法来西这个国家也是特别盛产天才，1832年至少陨落了三位天才，都是数学家，第一个是破解了A级黑色罗塞塔石碑的语言学家Champollion，第二个是奠定了群论21岁去世的Galois，第三位是1832年去世的热力学奠基人，写出热力学第一篇文章的 Sadi Carnot。

关于这个问题我特别有感慨，我想说什么呢？就是如果一块土地长不出天才的土地是尴尬的，但是长出了天才也要敬重，要让天才存在下去。我想说的第二句容不得天才的人群是猥琐的，特别希望我们的社会未来在每一个局域的小环境都能够形成一个容忍我们身边天才成长的小环境，让我们未来的青少年中间能够出现真正的给中华民族带来荣光的天才。

现在回头看代数方程的事情，代数方程从原先用系数求具体的根，现在变成了系数经对称多项式到根的表达，到研究对称多项式到根的关系的问题，用的就是刚才这位小伙子得出的群论，所以这条理论就叫伽罗华理论。

但是比较好理解，我给大家念一念，一般n次多项式伽罗华群是置换群Sn，置换群最大的正规子群叫做交替群，交替就很重要了，这样一直做它的最大正规子群一直往下，要求合成列中的指数始终是素数，2、3、5、7、11、13这样的数。如果是这样的数，就称这个方程可解。

从这个道理可看四次方，它的置换群是12个元素，这儿的A4置换群最大正规子群是四个元素，12÷4=3这是素数，所以这个方程可解。可是如果n大于5就麻烦了，交替群An总是简单的，也就是说它的子群只有一个，元素数等于1，An这个数非常大，是一个偶数，是一个大的偶数，肯定不是素数，证明一元五次方程不可解。没有关系，一般听众不需要知道这些。

俄罗斯，我作为一个学物理的，学一点点数学的人，这一位特别帅气的大神阿诺尔德是绕不过去的，你看到1963年的时候，人家这样的一个数学大神竟然还研究x2+bx+c=0。人家从哪个角度研究的呢？从拓扑学研究，什么叫拓扑学研究呢？他说我现在我当然知道B和C可以当做复数，复数的话是可以表现为平面一点，所以说在平面上选择一点代表B和C的话，那么相应地在另外一个复平面就有两个根x1、x2。这个没问题，他说我发现有一个问题，如果我改动一下B。怎么改动呢？就是绕一个小圈子回到原来的地方，那么这个C也改动一点绕到一个地方。那么大家知道这个BC如果有点改动的话，那相应地两个根应该有一点变动，这可以理解，他发现如果我这两个参数绕一个小圈子的时候，这两个根绕一个小圈子也回到自己那个地方，这个比较合理。他说但是如果BC自己绕的圈子大了，发现这边出的是x1变成x2，x2变成x1了，这叫置换。也就是说这个地方的参数，就是这个方程这个系数仅仅是走了一段路，走的路就是离家远了一点，绕的圈子大了一点，造成了两个根之间的置换。他说这个地方可能会告诉我，这个就能提供代数方程的一般理论。

所以他从这个角度就证明了：一元五次方程为什么不可解呢，就是因为他发现这个两条路径的乘积再倒过来走，倒过来走就相当于回家嘛。就是这样的一个闭合路径，他用这个证明发现一元五次方程的五个根有120个置换，这120个置换就有120×120的这个表达式，叫对易式。他发现120×120个对易式里面有60个还是原来对易的结果，也就是说求这个地方对易的根的时候，要求你的根式套一个根式。可是这60个置换操作，再用60×60去求它的表达式，还是这样表达式。也就是说如果对应根，你用根号下表达的数，外面得再套一层，结果就陷入一个死胡同了。如果这个根要用根号表示的话，就得根号套根号套根号，就套到无穷了。

这样的话他就证明了一元五次方程的表达式，如果表达成根号套的话，就一定要有无穷多个嵌套，这就证明它不可解。大家看看一点：都说数学家聪明，数学家总是坐在桌子前面冥思苦想，大家看看算120×120个这样的对易表达式，大家想象一下得多辛苦。所以说今天也借此，向我们的社会，尤其向管理科学的领导们指出一个事实：科学家首先是个体力活儿。大家千万别误以为科学家光是聪明，科学家首先是一个体力活儿。

一元五次方程既然有人说不可解了，当然总有人不服气，说一定是可解的。英国科学家有一个叫杰拉尔的，写论文说一元五次方程一般可解。结果爱尔兰的著名数学家哈密顿给他审这个文章，花了一晚上给出报告说认为这篇方程很聪明，但是没有解。没有解让提交文章的杰拉尔很生气，又写了一篇文章，干脆说我不仅能解一元五次方程，我能解一元任意次方程的解。结果这个论文又交到哈密顿手里审稿了，结果可能把哈密顿给惹着了。结果大家看什么叫神人，什么叫科学家，首先是体力活儿。哈密顿在1836年5月31号这一天，给这位杰拉尔用笔写了124页的长信，这一天用笔写出124页的审稿意见。告诉他你这个方法是错的，是不对的。

那么为什么哈密顿能够评价这个问题写了124的页长信告诉他这个不对呢？是因为哈密顿本人也研究一元五次方程，也有专门的专著研究一元五次方程。这个哈密顿，叫做威廉·卢云·哈密尔顿，请大家记住，这是我们这个世界上产生的一个最珍贵的名字，这个名字比牛顿这个词儿更珍贵。这是唯一的一个在这个世界上任何一个时刻都有人在输入的名字。就是哈密顿这个姓，是这个世界上任何一个时刻都有人在书写这个名字的，这就是因为他。这也是我们学数学、学物理都绕不过去的一个人。那么这个事情的感慨，就是说一元五次方程不可解，为什么有人还要研究这个问题呢？就是我提醒大家的一件事情：**做明知不可能的事情会有大收获。**这又让我想起了我们的许多基金申请，赌咒发誓说这个事情可行，这个事情有意义的。好像不对。做明知不可能的事情会有大收获。就是做不可能，你要怎么证明它的不可能，不可能里面往别的方向要蹚出路来，这也是做科学的一个很重要的方式。

我们既然说一元五次方程没有一般的解，但并不表示一个特殊的一元五次方程没有解。所以说对于一个特殊的方程怎么解，还是要有人在做这件事情。比方说给大家举个例子，这个方程的解表达成这个样子:

再举个例子，这个方程x5=2625x+61500它的解表达成这个事情；

你看这些具体的解都不容易。还是那句话，请大家一定要记住：当科学家首先它是个体力活儿。

那么这个地方，同样是解方程，解方程的层次可就不一样了，这个大神来自德国哥廷根的一个大神Felix Klein。他专门的一本书研究一元五次方程，但是他把这个一元五次方程的解和正三角形组成的正二十面体具有五次对称性的这个几何联系在一起了，然后这个尝试就会带出一门新的学问。待会我们会知道，后来当有一天我们的科学家在研究团簇、研究碳60、碳72、碳74的时候，突然发现人家这个学问早就准备了。

还有人更神，他不仅研究一元五次方程，研究一元六次方程，他研究一元无穷次方程。这是谁呢？就是来自瑞士那个小镇子的欧拉。他研究一元无穷次方程，什么意思呢？他说一元无穷次方程应该表达成这样，f(x)=(1-x/ x1)(1-x/x2)…，一直乘下去。大家看：你取x=x1的话，那么第一项等于0，这个方程就等于0，这就成立了。你看多聪明，我看这个我就感慨我怎么没有想到。

那么按照刚才的表达式，这个1/x1+1/x2+…+1/xn加起来，就等于我们的方程中一次的x的系数，这个没有问题。他说我现在给你举个例子，举个什么例子呢？由sin√x除以√x，得出的这样一个代数方程，就是1-x/3!+x2/5!-x3/7!…这就是无穷多次方程了，对不对？无穷多次方程要让它等于0呢，这就是x根。让这样一个sin√x等于0简单，只要√x等于nπ，这个表达式就等于0，也就是说nπ一定是这个方程的解。所以说用这个表达式1/x1+1/x2+…+1/xn呢，就等于-(1/π2+1/4π2+1/9π2+…),就等于x这一项的系数。这一项是1/3!就等于1/6。两边同乘以π，结果就能得出来1/12+1/22+1/32+1/42+…，一直加到无穷大，等于π2/6，而这个竟然是著名的巴塞尔问题。他的老家就是巴塞尔。

请大家记住这个瑞士的小镇巴塞尔，**巴****塞尔小镇里面诞生了流体力学、刚体力学，和数学上那个吓死人的“贝努里家族”。**贝努里家族是我们学数学学物理人的一个噩梦，因为你当写出一个贝努里方程的时候，你不知道这个贝努里是他爷爷是爸爸这一辈还是他孙子这一辈的，你也弄不清他是哪个贝努里。欧拉的爸爸是和贝努里家族交好，他投的是贝努里家族中约翰贝努里的门下，所以才年纪轻轻就成名的。这个点再再地提醒我们大家记住：天才是天生的是没错的，天才的第二步就是一定要遇到好老师。

那么我想看欧拉，不是我感慨了，很多人都感慨。有一本著名的书就是How Euler did it，就是欧拉到底怎么能干出来这个事的。那么大家都对他解题能力感到惊讶，我想感慨的是真正的大神是敢于直面吓死人的问题。大家想象一下，如果我们给学生布置题目说请试试怎么解一元无穷次方程。肯定教育局说超纲了。这超纲算什么呀，就是说你要解决吓死人的问题、敢于使用不合理的前提，有能力自己发明解决问题的方法与工具，才是真正的学术大神。