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弹簧大家一定不陌生

和金属丝或者其他材质的绳子比，弹簧有什么特征呢？

和金属丝相比，弹簧在弯曲方面有更好的韧性和弹性形变极限

并且弹簧不像绳子那样松散，能够将力很好地传递到其每一个位置

所以弹簧在很多教学实验就是老师的好帮手啦！

今天我们来玩点更有意思的

实验器材

所标杯、弹簧、手套、所徽

实验过程

首先，我们来做一个复习：

将所徽挂在弹簧一端

（相比于弹簧，所徽质量可以忽略不计）

让其在平面内摆动

这时可以将弹簧近似地看作一个复摆

复摆运动的周期和等效长度呈正相关

随着弹簧长度增加，随着转动惯量的增加，

往复周期就增加了

如果我们将两个垂直平面内的往复运动叠加起来

就可以合成一个圆周运动

这个圆周运动有一个角速度下限

这个下限和形成圆周运动之前的摆动频率有关

但是在此之上我们可以试着让它转的更快

相对的弹簧也会“飘“得更高

复习完毕，那我们开始玩起来：

捏住弹簧的一端

使其旋转

不仅可以得到上图中简单的圆周运动

还可以得到和驻波类似的运动

达成这个驻波的最小角速度条件

和弹簧在特定长度摆动的固有频率有关

大家可以猜一猜这个长度占弹簧总长度的比值是多少？

（让我看看机智的小伙伴在哪里）

同样的，在形成“驻波“之后

如果我们加速旋转

弹簧整体也会抬升

转动的手感还是很不错的

和平面内的驻波比，旋转起来的“驻波”更加稳定

大家也可以尝试一下只在一个方向上振动

结果会发现很难将摆动控制在一个平面内

弹簧会自然地开始转动起来

那么，能不能让弹簧出现更多的波节呢？

我们可以先尝试找到使其稳定振动的频率

首先找到弹簧的1/5处（想想为什么？）

轻轻摇动一下

静下心来感受它的振动

然后以相同的频率抖动弹簧

就可以成功的激发出更多的波节

看，这样旋转的弹簧像不像随音乐起舞的蛇？

原理解说

（1）关于复摆

在小角度下复摆的周期公式为：

其中I为弹簧绕着支点（手）的转动惯量

小角度下不考虑弹簧的形变的话

所以在小角度时振动周期的平方正比于弹簧长度

随着摆动角度和弹簧长度的增大，周期公式以及转动惯量都会发生变化，但是整体上还是呈正相关的。

（2）关于复摆运动与圆周运动

在小角度时复摆近似地做简谐运动，而在正交的两个方向上，相位差为π/2的两个简谐运动可以合成为一个圆周运动。大家可以参考这样一对参数方程：

当然了，随着圆周运动的角速度提高，整个系统就不能够用由复摆近似的简谐运动合成。此时圆周运动是以弹簧的离心力、重力和弹簧内部的拉力共同作用下平衡的。当然，由于弹簧在甩动时呈一条曲线，若想得到完整的表达式需要做一些微积分的计算。当然我们可以定性地去分析，随着圆周运动的角速度提高，弹簧受到的离心力必然是增大的，其与重力的合力与垂直轴的夹角也会变大，弹簧整体也就“浮起来“了。

（3）关于驻波

我们之前提到了两个简谐运动可以合成一个圆周运动，那么反过来也是一样，我们可以将旋转的弹簧投影到平面上，让它分解成两个平面波。弹簧在手这一端是固定住的，在另一端是不固定的，所以形成驻波就是中学时我们学到的管内一端开一端闭的模式。那么形成的前两阶驻波示意图就如下：

这也是我们找到驻波最靠近弹簧末端的位置分别为1/3以及1/5的原因啦~