量纲分析和量纲制_风闻

物理定律不依赖于测量单位的选择。量纲分析探讨这种不变性及其后果和应用。无纲量为单位变换下的不变量，物理规律最终必然只能用无纲量表达。从一个问题中的物理变量可构造出的无纲量数要少于原始变量数，带来简化，构造的无纲量可更深刻反映物理量间的内在关系。量纲概念足够深刻，但方法足够简单，应该是物理训练的重要内容。文章阐述量纲分析的基本概念、原理及其应用，大部分内容来自文献，着重讨论量纲制及其与单位制的关系，企图厘正文献中的一些混乱。特别指出，仅就量纲分析操作而言，可以只用MLT量纲制。

撰文 | 郑伟谋(中国科学院理论物理研究所)

来源 | 本文选自《物理》2021年第12期

物理定律的对称性意味着物理定律在各种变换下的不变性。一个简单原理是物理定律不依赖于测量单位的选择。量纲是物理量不受单位变换而改变的品性，量纲分析探讨这种不变性及其后果和应用。一类特殊的物理量是无纲量，为单位变换下的不变量，物理规律最终必然只能用无纲量表达。从一个问题中的物理变量可构造出的无纲量数要少于原始变量数，带来简化，而且，无纲量可更深刻反映物理量间的内在关系。

量纲分析方法是探讨科学规律、解决科学和工程问题的一个普适工具，非常值得学习和掌握。量纲分析既可以用于实验设计和数据整理，也可以在求解问题前就对问题有个定量和定性的把握，且有助于加深对物理规律的认识。面对复杂问题时，建立数学模型可能非常困难，或者方程非常复杂难以求解，或者难以理解所得解的意义。有时需要做试验，而实际尺寸很难在试验条件中实现，必须缩小尺寸做模型试验，必须满足一定的相似条件，这种条件必须建立在量纲分析和相似论的基础上。

量纲分析很难说是从何时开始的。Dimension一词，1833年泊松首先使用，在此之前用齐次性homogeneity。1822年傅里叶明确表述，物理定律应与单位无关，写在其名著《热的解析理论》(Analytical Theory of Heat)中[1]。这导致一个重要结论：任何有意义的定律，对于每一个计量单位都必须是齐次方程式。很多科学大师如牛顿、欧拉和麦克斯韦等用量纲的概念处理问题。1871年瑞利关于天空蓝色的解释和后来对风中绳弦发声的研究[2，3]，1883年雷诺关于雷诺数的工作，都是量纲分析的早期范例。量纲分析的正规形式为Π-定理：如果一个物理关系含有n个独立变数与m个基本量纲，则它可用n-m个无量纲量表示。利用物理定律的量纲平衡(齐次)原理可确定各物理量之间的关系，从而从定性到半定量至定量地解决问题。未查到中文“量纲”的起源，“量纲分析”在日文中称为“次元解析”。关于量纲分析的文献很多，无法一一列举，如中文书[4，5，6]，最近又出了一本[7]，布里奇曼的英文书[8]是经典，稍晚的可举[9]，书中有丰富的文献和习题，还有[10]。

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从一个故事和一个例子谈起

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量纲分析的基本概念和方法

2.1 量纲制、量纲表示矢量、量纲表示矩阵和Π-定理

物理学是一门高度定量化的学科。物理量离不开测量，测量给出物理量的值。各物理量间由定义或物理定律联系，可选少数几个物理量作为基本量，并为之规定基本量度单位，构成单位制。约定基本量不可能依基本物理定律彼此导出。此处特别将基本量集合称为量纲制，不问其单位；单位制决定量纲制，但反之不然。其他物理量通过定义或基本物理定律作为导出量。量纲“意会”容易“言传”难，基本量不依赖于其单位选择的属性是其量纲，如量纲之一长度，地球半径的量纲是长度。选定基本量和单位制后，导出量的单位可用基本单位表出，这种表达式称为导出量的量纲式，导出量与此相关的不依赖于单位选择的属性是其量纲，描述导出量与基本量间与量值无关的简约关系。例如，在MLT量纲制有三个基本量：质量、长度和时间，对应的三个基本量纲分别记作质量M、长度L和时间T，如L不可能依基本物理定律由M和T导出，而速度v=dx/dt是导出量，是长度除以时间的结果，其量纲记

2.2 量纲分析的步骤

量纲分析的步骤如下：

第1步，选择量纲制，列出问题所有的独立关键参量，设共有n个；

第2步，确定所有n个参量的量纲；

第3步，确定量纲表示矩阵的秩m。往往从n个变量中适当选取m个量纲独立的参考量纲量；

第4步，构造出l=n-m个不等价的无纲量πj。往往用m个参考量纲量，对余下的l个参量逐一构造无纲量；

第5步，再次验证所有无纲量的确无量纲，适当整理取某些无纲量的简化组合，使之是科学界通用的已命名无纲量，通常让每个待考察的原始变量只出现在一个无纲量中，或方便于考察极限情形；

第6步，写出问题最终的无纲量关系。在理想情形下，可表现为简单的幂次形式，通常也称之为标度律(scaling law)。

量纲分析的确有些技巧，量纲分析解决复杂问题往往给人一种神奇的美的享受，量纲分析的范例不少是科学大作。如何确定问题的关键物理量，涉及如何简化问题，物理因素有哪些，孰轻孰重，需要有高深的科学修养、丰富的物理知识以及对问题的深刻理解，特别是对于新出现的科学问题。加进关系不大的多余物理量，增加分析的复杂性，但丢失关键物理量导致失败，显然不能解决问题。基本量纲量和参考量纲量的选择有随意性，一种选择会比另一种方便，无纲量的具体形式也可随之不同，但不同的无纲量组彼此等价，最终的无纲量数即物理问题的自由度是不变的。

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应用例

定性思考和半定性实验，力求对问题的性质和解的概貌有所估计，这种能力靠物理直觉和洞察力，靠经验和功力，需要长期思考和培养。“学而不思则罔，思而不学则殆。”

3.1 证明勾股弦定理

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量纲制的基本量个数

在CGS单位制或高斯单位制中基本单位只有3个，在MKSA单位制中有4个，而在国际单位制SI中有7个。基本单位的个数，就是基本量纲量的个数。增加基本量纲量如引入温度或电流，便于与力学过程相区分，分析热学或电学过程所起的作用，但增加基本量纲量的个数，根据Π-定理，似乎将减少无纲量的数目。物理问题的自由度显然不会因单位制的选择而改变，增加基本量纲量一般也增加相关的物理量，如引入基本量温度后需要相应引入有纲量玻尔兹曼常数，问题的自由度最终不变。仅就量纲分析操作而言，可以只用MLT量纲