2024年首日营业~_风闻

​首发于公众号“贼叉”

祝大家元旦快乐！今天是2024年第一个工作日，为了让您更痛苦一点，我们就来聊聊数学吧~

最近刷视频，看到一个题，很有意思：

你们不是总说孩子没思路么，其实我一直做的事情就是告诉你怎么帮孩子找思路，所以这篇文章一定要细心揣摩。

数学的思路当然是通过长时间的学习、训练得到的；但是数学考试的思路却是有“外力”相助的。比如本文中开头的这个方程，出现在某个初中考试卷里，那该怎么办？

贼老师，我听糊涂了，这和考不考试有什么关系？！

所以我一直说，**数学是学问，考试也是学问。**掌握一些必要的应试技巧是绝对有好处的。这个题目出现在某张初中试卷上，意味着这个题目一定可以因式分解——毕竟五次以上方程是没有求根公式的。

事实上，95%的学生如果真的是在考试中看到这个题是目瞪口呆的，完全不知道从哪里下手。**所以人很多时候是被自己吓死的，破除心魔是取得好成绩的第一步。**考试中不管碰到什么题目，永远不要被吓到，因为只要吓到，你生平所学都报废了。而只要冷静下来，真的就成功一半了。

既然可以因式分解，那我们不妨把式子展开，变成：

这时候就有说道了。最好的学生马上能想到以前我在《不焦虑的数学》中讲过的关于系数对称的一元四次方程的解法，即两边同除以x的平方，将其变为关于x+1/x的一元二次方程。现在既然是6次方程，而且系数也是对称的，两边除以x的立方是很合理的选择。在做完这步以后，通过简单的配方，就变成了关于x+1/x的一元三二次方程，再回忆起《不焦虑的数学》中的试根法，很快可以得到x+1/x=4，剩下的就很简单了。

如果没有观察到这一步，那也不妨事。我们接着想因式分解的事情。既然方程能求根，意味着这个多项式一定能分解成若干一次式或者二次式的乘积。而用试根法可知，方程的有理根只可能是±1，很显然这两个数都不是方程的解，所以多项式至多分解成三个二次式的乘积。

注意到除了三次项的系数为-70，其他系数均为1，所以最好的办法就是待定系数法——系数越简单，凑起来也就越容易。注意到系数的高度对称，所以分解成两个低次的多项式的系数也一定是对称的。我们不妨设能分解成一个二次式和四次式的乘积：

然后通过对比两边系数，很容易解出系数。等等贼老师，那后面那个一元四次方程我怎么知道有没有根?

想一想，四次对称多项式，该怎么办？如果这时候仍然回忆不起来标准解法，那大不了再来一次待定系数法呗。

视频中的解法是什么样的呢？他首先改写了x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)，然后方程左边变成了(x+1)^2(x^2+1)(x^2-x+1)，接着就两边同除以x^3，从而转化成关于(x+1/x)^2的一个三次方程。

一般来说，带解析的答案多半会选择这种方式，**给你的就是完美的过程，而缺乏试探、猜想的过程。**这就是为什么你看了那么多答案频频点头却怎么也提高不了的根本原因。